1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价 三十一直线与平面垂直(二)(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.四棱锥P-ABCD，PA平面ABCD，且PA=AB=AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是() A.垂直B.相交C.平行D.相交或平行【解析】选A.因为PA=AD，E为PD的中点，所以AEPD，又PA平面ABCD.所以PACD，又因为CDAD.PAAD=A，所以CD平面PAD，所以CDAE
2、.又因为CDPD=D，所以AE平面PCD.所以AEPC.2.已知PA矩形ABCD所在平面，PAAD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于()A.ADB.CDC.PCD.PD【解析】选B.连接AC，取AC的中点为O，连接NO，MO，如图所示：因为N，O分别为PC，AC的中点，所以NOPA，因为PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所以NOCD.又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MOBC.因为BCCD，所以MOCD，因为NOMO=O，所以CD平面MNO，所以CDMN.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1与B1D1的中点，则直线CE垂直于()A.ACB.BDC
3、.A1DD.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中点，设O是AC，BD的交点，连接EO，则EO平面ABCD，所以EOBD，又COBD，COEO=O，所以BD平面COE，因为CE平面COE，所以BDCE.4.(多选题)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为()A.BCPCB.OM平面APCC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【解析】选ABCD.因为PA圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以PABC，而BCA
4、C，PAAC=A，所以BC平面PAC，而PC平面PAC，所以BCPC，故A正确；因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OMPA，而OM平面PAC，PA平面PAC，所以OM平面APC，故B正确；因为BC平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；三棱锥M-PAC和三棱锥P-ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，故D正确二、填空题(每小题4分，共8分)5.ABC的三个顶点A，B，C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_.【解
5、析】如图，设A，B，C在平面上的射影分别为A，B，C，ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，又设E，G在平面上的射影分别为E，G，则EAB，GCE，EE=(AA+BB)=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形EECC中，可求得GG=3.答案：36.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1.【解析】若A1CB1D1，由四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，AA1B1D1，易得B1D1平面AA1C1C，则A1C1B1D1，即ACBD(或四边形ABCD为菱形).答案：ACBD或四边形ABCD为菱形三、解答题(共26分)7.(
6、12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=.证明：A1C平面BB1D1D.【证明】因为A1O平面ABCD，所以A1OBD.又底面ABCD是正方形，所以BDAC，因为ACA1O=O，所以BD平面A1OC，所以BDA1C.又OA1是AC的中垂线，所以A1A=A1C=，且AC=2，所以AC2=A+A1C2，所以AA1C是直角三角形，所以AA1A1C.又BB1AA1，所以A1CBB1，因为BB1BD=B，所以A1C平面BB1D1D.8.(14分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且A
7、O平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB.(2)若ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.【解析】(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)方法一：在平面BB1C1C内作ODBC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB1=60，所以CBB1为等边三角形.又BC=1，可得OD=.由于ACAB1，所以O
8、A=B1C=.由OHAD=ODOA，且AD=，得OH=.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.方法二：由于侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，BC=1.故B1C=1，BO=，又ACAB1，则AO=，AC=，易得AB=1，在ABC中，易得AC边上的高h=，由=，得AO=SABCh三棱柱所以=h三棱柱.所以h三棱柱=.所以三棱柱ABC-A1B1C1的高为.(15分钟30分)1.(4分)已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PMDM，则a的值为()A.B.1C.D.2【解析】选C.因为PA平面ABC
9、D，所以PADM，若BC边上存在点M，使PMMD，则DM平面PAM，所以DMAM，所以以AD为直径的圆和BC相交即可.因为AD=BC=3，所以圆的半径为，要使线段BC和半径为的圆相切，则AB=，即a=，所以a的值是.2.(4分)如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB=90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC【解析】选C.因为PM平面ABC，MC平面ABC，所以PMMC，PMAB.又因为M为AB中点，ACB=90，所以MA=MB=MC.所以PA=PB=PC.【加练固】 正方体ABCD-A1B1C1D1中E为
10、线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是()A.ACBEB.B1E平面ABCDC.三棱锥E-ABC的体积为定值D.B1EBC1【解析】选D.对于A.因为在正方体中，ACBD，ACDD1，BDDD1=D，所以AC平面BB1D1D，因为BE平面BB1D1D，所以ACBE，所以A正确.对于B.因为B1D1平面ABCD，所以B1E平面ABCD成立，即B正确.对于C.三棱锥E-ABC的底面ABC的面积为定值，锥体的高BB1为定值，所以锥体体积为定值，即C正确.对于D.因为D1C1BC1，所以B1EBC1错误.3.(4分)正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是_.【解析】如图
11、，由已知得PAPB，PAPC，PBPC=P，所以PA平面PBC.又PBPC，PB=PC，BC=2，所以PB=PC=.所以VP-ABC=VA-PBC=PASPBC=.答案：4.(4分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则=_.【解析】在三棱锥P-ABC中，因为PA底面ABC，BAC=90，所以AB平面APC.因为EF平面PAC，所以EFAB，因为EFBC，BCAB=B，所以EF底面ABC，所以PAEF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以=1.答案：15.(14分)如图直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，
12、E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB=2.(1)证明：BC1平面A1CD.(2)求三棱锥E-A1CD的体积.【解析】(1)连接AC1交A1C于F，连接DF，则F为AC1中点，又D为AB中点，因为BC1DF，又BC1平面A1CD，DF平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因为AC=BC=AB=2，所以ACBC，AB=2，CDAB，CD=，因为三棱柱为直三棱柱，所以AA1底面ABC，所以AA1CD，因为A1AAB=A，所以CD平面A1DE，所以=CD，在矩形ABB1A1中，求得=，所以=1.故三棱锥E-A1CD的体积为1.【加练固】 如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA平面
13、ABCD，再过A作AESB交SB于点E，过点E作EFSC交SC于点F.(1)求证：AFSC.(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.【证明】(1)因为SA平面ABCD，BC平面ABCD，所以SABC，因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC，因为ABSA=A，所以BC平面SAB，所以BCAE.又SBAE，SBBC=B，所以AE平面SBC，所以AESC.又EFSC，所以SC平面AEF，所以AFSC.(2)因为SA平面ABCD，所以SADC，又ADDC，SAAD=A，所以DC平面SAD，所以DCAG.由(1)知SC平面AEF，因为AG平面AEF，所以SCAG，因为SCDC=C，所以AG平面S
14、DC，所以AGSD.1.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列结论中正确的有()总存在某个位置，使CE平面A1DE.总有BM平面A1DE.存在某个位置，使DEA1C.A.B.C.D.【解析】选A.在中，总存在某个位置，使CE平面A1DE，正确；在中，取CD中点F，连接MF，BF，则MFA1D且MF=A1D，FBED且FB=ED，由MFA1D与FBED，可得平面MBF平面A1DE，所以总有BM平面A1DE，故正确；在中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，所以DE与A1C不垂直
15、，故错误.2.(2019南昌高一检测)如图，在四面体P-ABC中，PA平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2.(1)证明：BC平面PAB.(2)在线段PC上是否存在点D，使得ACBD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知：AB=1，BC=，AC=2.则AB2+BC2=AC2，所以ABBC，又因为PA平面ABC，所以PABC，因为PAAB=A，所以BC平面PAB.(2)在线段PC上存在点D，当PD=时，使得ACBD.理由如下：在平面ABC内，过点B作BEAC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DEPA，交PC于点D，连接BD，由PA平面ABC，知PAAC，所以DEAC，所以AC平面DBE，又因为BD平面DBE，所以ACBD，在ABC中，BE=，所以AE=，CE=，所以=，所以CD=，PD=.关闭Word文档返回原板块
