1、课下能力提升(十)学业水平达标练题组1根据双曲线的标准方程研究几何性质1若0ka，则双曲线1与1有()A相等的实轴长 B相等的虚轴长C相同的焦点 D相同的渐近线解析：选C因为0k0.又b2k20，于是c2(a2k2)(b2k2)a2b2.故选C.2双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2 C. D1解析：选A不妨取焦点(4,0) 和渐近线yx，则所求距离d2.故选A.3已知双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析：选B由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则ab，ca，于是e.题组2由双曲线的几何性质求标准方程4若双曲线与椭圆1
2、有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()Ay2x296 By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：选D设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4)，所以0，b0)的一个焦点为F(2，0), 且离心率为e，则双曲线的标准方程为_解析：由焦点坐标，知c2，由e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为1.答案： 16分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以圆C：x2y26x4y80与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；(2)焦点在x轴上，渐近线方程为yx, 且顶点到渐近线的距离为1.解：(1)对圆C的方程，令y0，得
3、x26x80，解得x12，x24，即圆C与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)令x0，得y24y80，此方程无解，即圆C与y轴没有交点因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2，c4，所以b2c2a212，从而双曲线的标准方程为1.(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)渐近线方程为yxx，则ab.由顶点(a,0)到渐近线yx的距离为1，得1，得a2，ba. 从而双曲线的标准方程为1.题组3求双曲线的离心率7已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边M
4、F1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e_.解析：依题意知，F1(c,0)，F2(c,0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得1，又c2a2b2，所以1，整理得e48e240，解得e242(e2420，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析：由题意，知 ，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)题组4直线与双曲线的位置关系9已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A4 B3 C2 D1解析：选B
5、双曲线方程为x21，故P(1,0)为双曲线右顶点，过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)10若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是_解析：由得x2(kx2)26.则(1k2)x24kx100有两个不同的正根则得k0，b0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a0，b0，C符合2焦点为(0,6)，且与双曲线y21有相同渐近线的双曲线方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设所求双曲线的方程为1(0)因为双曲线的一个焦点为(0,6)，可知0，b0)因为，所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为yx，即双曲线的渐近线方程为
6、yx.故选D.4已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：选C双曲线的渐近线方程为y2x，设直线AB：y2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|，tan COx2，sin COx，cos COx，则C的坐标为，代入椭圆方程得1，a211b2.5a2b2，b2.5已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则实数m的值是_解析：由消去y得x22mxm220.则4m24m288m280.设
7、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)又点(m,2m)在圆x2y25上，所以m2(2m)25，得m1.答案：16如果双曲线1(a0，b0)的右支上存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线的离心率e的取值范围是_解析： 到双曲线的中心O与右焦点F距离相等的点在线段OF的中垂线l：x上，则l应与双曲线的右支交于不同的两点，所以a，即e2.答案： (2，)7双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率解：由l过两点(a,0)，(0，b)，设l的
8、方程为bxayab0.由原点到l的距离为c，得c.将b代入，平方后整理，得1621630.令x，则16x216x30，解得x或x.因为e，有e.故e或e2.因为0a，所以离心率e为2.8已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积是，求实数k的值解： (1)由消去y，得(1k2)x22kx20.由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得解得k且k1.即k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程，得x1x2，x1x2.因为直线l：ykx1恒过定点D(0，1)，则当x1x20时，SAOB|SOADSOBD|x1x2|.综上可知，|x1x2|2，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)2，即28，解得k0或k.
