1、高考达标检测（二十四） 等比数列的3考点基本运算、判定和应用一、选择题1若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则()A1B1C. D2解析：选B设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.2(2018海口调研)设Sn为等比数列an的前n项和，a28a50，则的值为()A. B.C2 D17解析：选B设an的公比为q，依题意得q3，因此q.注意到a5a6a7a8q4(a1a2a3a4)，即有S8S4q4S4，因此S8(q41)S4，q41.3在等比数列an中，a1，a5为方程x210
2、x160的两根，则a3()A4 B5C4 D5解析：选Aa1，a5为方程x210x160的两根，a1a510，a1a516，则a1，a5为正数，在等比数列an中，aa1a516，则a34，a1，a5为正数，a34.4已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2C3 D3解析：选B设数列an的公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.5已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnlg an，b318，b612，则数列bn的前n项和的最大值为()A126 B130C132 D134解析：选
3、C设等比数列an的公比为q(q0)，由题意可知，lg a3b3，lg a6b6.又b318，b612，则a1q21018，a1q51012，q3106，即q102，a11022.又an为正项等比数列，bn为等差数列，且公差d2，b122，数列bn的前n项和Sn22n(2)n223n2.又nN*，故n11或12时，(Sn)max132.6正项等比数列an中，存在两项am，an，使得4a1，且a6a52a4，则的最小值是()A. B2 C. D.解析：选A设等比数列an的公比为q，其中q0，于是有a4q2a4q2a4，即q2q20，(q1)(q2)0(q0)，由此解得q2.由aman16a，得a2
4、mn216a，故mn6，其中m，nN*，(mn)，当且仅当，即m2，n4时等号成立，的最小值为.二、填空题7已知数列an满足a1，是首项为1，公比为2的等比数列，则a101_.解析：因为数列an满足a1，是首项为1，公比为2的等比数列，所以a11，2n1，所以ana112222n1212(n1)2，当n1时，a11满足上式，故an2，所以a101225 050. 答案：25 0508(2017辽宁一模)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.解析：因为，由等比数列的性质知a7a10a8a9， 所以.答案：9设数列an的前n项和为Sn(nN*)，关于数列an有下列四个命题：若an
5、既是等差数列又是等比数列，则anan1(nN*)；若Snan2bn(a，bR)，则an是等差数列；若Sn1(1)n，则an是等比数列；若S11，S22，且Sn13Sn2Sn10(n2)，则数列an是等比数列其中真命题的序号是_解析：若an既是等差数列又是等比数列，设其前三项分别为：ad，a，ad(d为公差)，则a2(ad)(ad)，解得d0，因此anan1(nN*)，正确；由Snan2bn(a，bR)是数列an为等差数列的充要条件，可知正确；若Sn1(1)n，则a12，n2时，anSnSn12(1)n1，为等比数列，首项为2，公比为1，因此正确；由Sn13Sn2Sn10(n2)，可得Sn1Sn
6、2(SnSn1)，即an12an，又S11，S22，a11，a21，可得a2a1，数列an不是等比数列，错误故真命题的序号是.答案：三、解答题10已知数列an的前n项和为Sn，且an(nN*)(1)若数列ant是等比数列，求t的值；(2)求数列an的通项公式；(3)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，由a1，得a11.当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，a23，a37.依题意，得(3t)2(1t)(7t)，解得t1，当t1时，an12(an11)，n2，即an1为等比数列成立，故实数t的值为1.(2)由(1)，知当n2时，an12(an11)，
7、又因为a112，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列所以an122n12n，an2n1.(3)由(2)，知bn，则Tn1.11已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，证明：Tn.证明：(1)an23an12an，an2an12(an1an)，又a2a1312，数列an1an是首项为2、公比为2的等比数列(2)由(1)可知an1an2n，显然数列an是递增的，bn，于是Tn.12已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4(1Sn1
8、)(nN*)，Tn，求Tn的取值范围解：(1)当n1时，a1S1，由S1a11，得a1，当n2时，Snan1，Sn1an11，两式相减得，SnSn1(anan1)0，anan1.an是以为首项，为公比的等比数列故ann13n(nN*)(2)由(1)知1Sn1an1n1，bnlog4(1Sn1)log4n1(n1)，故Tn，Tn，即Tn的取值范围为.1数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，数列bn满足bn1a1a2an，数列cn2b1b2bn，若cn为等比数列，则aq()A. B3C. D6解析：选B由题意知q1.因为数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，所以bn1，所以cn2n，要使c
9、n为等比数列，则20且0，所以a1，q2，则aq3.2设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a22S132a139，当n2时，an12Sn3，可得an2Sn13.两式相减得，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an，则ana23n293n23n.又an3n对n1也成立，所以an3n.(2)由(1)知，bn(2n1)an(2n1)3n，故Tn13332533(2n1)3n，3Tn132333534(2n1)3n1，两式相减可得2Tn32(32333n)(2n1)3n132(2n1)3n1，化简可得Tn3(n1)3n1.
