1、第54讲圆的方程考试要求1.确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程(C级要求)；2.高考中可能重点关注圆的方程的求法，以及直线与圆、圆与圆的位置关系.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()解析(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2(2)245m0，即m或m1时才表示圆.答案(1)(2)(3)(4)2.圆
2、心是(2，3)，且经过原点的圆的标准方程为_.解析易得r.答案(x2)2(y3)2133.(2018镇江一模)圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3，2)的圆的标准方程为_.解析由题意得圆心在直线y2x3上，而圆心又在直线y4x上，所以解方程组得圆心坐标为(1，4)，半径为2，从而标准方程为(x1)2(y4)28.答案(x1)2(y4)284.(2016浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方
3、程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆.答案(2，4)55.已知点P(1，1)在圆C：x2y2ax2ay40的内部，则实数a的取值范围是_.解析因为点P在圆内，所以11a2a40，所以a0)圆心(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.3.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)
4、2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20)，由圆过点A(3，2)，B(2，1)，得由x0，得y2EyF0，y1y2E.由y0，得x2DxF0，x1x2D.由题意知x1x2y1y2DE2，解得D，E，F.故所求圆的方程为x2y2xy0.法二设圆心为(a，b)，圆与x轴分别交于(x1，0)，(x2，0)，与y轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，则根据题意知x1x2y1y22，所以1，a，b，所以ab1.又因为点(a，b)在线段AB的中垂线上，所以a3b40，联立解得所以圆心为，
5、半径r，所以所求圆的方程为，即x2y2xy0.规律方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.【训练1】 (1)(2016天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_.(2)(2018苏北四市联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分
6、成两段弧，弧长之比为12，则圆C的标准方程为_.解析(1)设出圆心的坐标，根据圆心到直线的距离求出圆心，再由点M(0，)在圆C上计算圆的半径，进而写出圆的方程.因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径rCM3，所以圆C的方程为(x2)2y29.(2)圆C关于y轴对称，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2(yb)2r2，依题意得解得于是圆C的标准方程为x2.答案(1)(x2)2y29(2)x2考点二与圆有关的最值问题【例2】 (1)(2018盐城检测)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy
7、的最大值和最小值.(2)(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.(1)解设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.(2)解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22规律方法与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与
8、圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.【训练2】 (2018扬州模拟)已知实数x，y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值.解(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2，0)为圆心，以为半
9、径的圆.设k，即ykx，则圆心(2，0)到直线ykx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.由，解得k23，kmax，kmin.(2)设yxb，则yxb，当且仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max(OC)2(2)274，(x2y2)minOB2(2)274.考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 (2018盐城模拟)已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中
10、点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知P点坐标为(2x2，2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，PNBN.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以OP2ON2PN2ON2BN2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列
11、方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】 设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为以(3，4)为圆心，以2为半径的圆，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).一、必做题1.(2018苏州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x
12、1)2(y2)25相切，且与直线axy10垂直，则实数a_.解析由题意，直线axy10的斜率a，a.答案2.已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y2x2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方，则圆M的标准方程是_.解析点M到l的距离d.设M(0，a)，所以，所以a1或a3.又因为a2022，所以a1.所以圆M的标准方程为x2(y1)21.答案x2(y1)213.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则代入xy4，得(x2)2(y1)21.答案(x2)2(y1)214.圆C的圆心在y轴正
13、半轴上，且与x轴相切，被双曲线x21的渐近线截得的弦长为，则圆C的标准方程为_.解析依题意得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0，1)，半径是1，因此其方程是x2(y1)21.答案x2(y1)215.(2018淮安模拟)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是_.解析圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则C(1，1)，当PC最小时，四边形PACB的面积最小，(PC)min2，此时PAPB.所以四边形PACB的面积S21.答案6.
14、(2018常州模拟)已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l平行的直线方程为_.解析设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)，因为圆C过点(1，0)，且直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，所以解得即圆心坐标为(3，0)，则所求直线为yx3，即xy30.答案xy307.过点P(1，1)的直线将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.解析当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k1，所求直线方程为y1(x1)，即xy20.答案xy208.已知D是由不等式
15、组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_.解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为，即tan ，tan ，tan tan()1，得，故弧长lR2(R为圆的半径).答案9.(2018扬州高三上学期期中)已知圆M：x2y22xa0.(1)若a8，过点P(4，5)作圆M的切线，求该切线方程；(2)若AB为圆M的任意一条直径，且6(其中O为坐标原点)，求圆M的半径.解(1)若a8，圆M：(x1)2y29，圆心M(1，0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M到直线x4的距离为3，所以直线x4为圆M的一条切线；若切线斜率存
16、在，设切线方程为y5k(x4)，化简为kxy4k50，则圆心到直线的距离3，解得k.所以切线方程为x4或8x15y430.(2)圆M的方程可化为(x1)2y21a，圆心M(1，0)，则OM1，设圆的半径r(a1)，因为AB为圆M的任意一条直径，所以，且|MB|r，则()()()()()2()21r2.又因为6，解得r，所以圆的半径为.10.已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当OPOM时，求l的方程及POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4
17、.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y).由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又OMOP2，O到l的距离为，所以PM，SPOM，故POM的面积为.二、选做题11.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.解析设D(x，y)，由(x3，y
18、)及|1，知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值.圆心C(3，0)与点P(1，)之间的距离为d，故的最大值为1.答案112.已知圆C经过P(4，2)，Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.解(1)由题意知直线PQ的方程为xy20.设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圆C在y轴上截得的线段的长为4，知r2(2)2a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.当a1，b0时，r213，满足题意，当a5，b4时，r237，不满足题意.故圆C的方程为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2).由题意可知OAOB，即0，x1x2(mx1)(mx2)0，化简得2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2，代入得m212m(1m)m20，m4或m3，经检验都满足题意，直线l的方程为xy40或xy30.
