1、数学选修222.3数学归纳法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P92P95的内容，回答下列问题(1)阅读教材P92的多米诺骨牌游戏，思考以下问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？提示：能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：()第一块骨牌倒下；()任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下你认为第二个条件的作用是什么？提示：条件()给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k1块也倒下(2)教材P92有如下问题：对于数列an，已知a11，an1(n1,2,3，)，通过对n1,2,3,4前4项的归纳，猜出其通项公式为an.而在P93，根据多米诺
2、骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？提示：验证n1时，猜想成立；假设nk时，猜想成立，然后证明nk1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确2归纳总结，核心必记(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示问题思考(1)数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示：不一定，如证明n边形的内角和为(
3、n2)180时，第一个值为n03.(2)数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤而缺少步骤就作出判断，可能得出不正确的结论因为单靠步骤，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤而缺少步骤，也可能得出不正确的结论，缺少步骤这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤也就没有意义了课前反思(1)数学归纳法的定义是什么？；(2)用数学归纳法证明问题的步骤是什么？.知识点1用数学归纳法证明等式思考利用数学归纳法证明问题的两个步骤是什么？名师指津：讲一讲1用数学归纳法证明：(nN*)尝试解
4、答(1)当n1时，左边，右边，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即.则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立根据(1)(2)可知，对一切nN*，等式都成立数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项(3)利用假设是核心：在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1时命题也成立”在书写f
5、(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法练一练1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN*)证明：(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2.那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立.知识点2用数学归纳法证明不等式讲一讲
6、2若数列an的通项公式为an2n1，bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立尝试解答由于an2n1，故bn2n(nN*)，所证不等式为.(1)当n1时，左式，右式，左式右式，结论成立(2)假设当nk(kN*且k1)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式知成立，故成立，所以当nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对任意的nN*时，不等式成立用数学归纳法证明不等式应注意两点(1)证明不等式的第二步即从nk到nk1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到
7、比较法、分析法和配凑法等练一练2证明不等式12(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边22.显然命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.则当nk1时，122，即当nk1时，不等式也成立根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立.知识点3归纳猜想证明讲一讲3(链接教材P94例2)已知数列an满足a1a，an1，(1)求a2，a3，a4；(2)推测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明思路点拨(1)将n依次赋值1,2,3即可求出a2，a3，a4的值；(2)猜想an的通项公式，然后利用知识点1的方法证明，要注意an一定要正确尝试解答(1)由an1可得a2，a3，a4.(2)推测an.下面
8、用数学归纳法证明：当n1时，左边a1a，右边a，结论成立假设nk时，有ak成立，则nk1时，ak1.故当nk1时，结论也成立由可知，对nN*，都有an.数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的因此归纳猜想证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明练一练3已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2
9、，a3; (2)猜想数列an的通项公式，并证明解：(1)a2，a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜得：an.证明：当n1时，由(1)可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an，得ak，ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1.因此，k(2k3)ak1，所以ak1，这就证明了当nk1时命题成立由可知命题对任何nN*都成立课堂归纳感悟提升1本节课的重点是数学归纳法在证明等式和不等式中的应用，难点是利用数学归纳法解决“归纳猜想证明”问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)用
10、数学归纳法证明等式问题，见讲1；(2)用数学归纳法证明不等式问题，见讲2；(3)用数学归纳法解决“归纳猜想证明”问题，见讲3.3在利用数学归纳法证明问题时，从nk到nk1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”课下能力提升(十六)学业水平达标练题组1用数学归纳法证明等式1已知f(n)，则()Af(n)共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：选D结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n
11、1个，且f(2).2用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).证明：当n1时，左边1210，右边0，所以等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即(k21)2(k222)k(k2k2).那么当nk1时，有(k1)212(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)(2k1)k(k1)k(k1)2(2k1)k(k1)(k23k2)，所以当nk1时等式成立由知，对任意nN*等式成立题组2用数学归纳法证明不等式3用数学归纳法证明12(n2)(nN*)时，第一步需要证明()A12B12C12D12解
12、析：选C第一步验证n2时是否成立，即证明12.4某同学回答“用数学归纳法证明n1(nN*)”的过程如下：证明：当n1时，显然命题是正确的；假设当nk(k1，kN*)时，有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时命题是正确的由可知对于nN*，命题都是正确的以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用假设B假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体解析：选A分析证明过程中的可知，从k到k1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.5用数学归纳法证明：11)证明：(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等
13、式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立题组3归纳猜想证明6k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)(k3，kN*)为()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2解析：选A三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(020(31)；五棱柱有5个对角面(232(41)；六棱柱有9个对角面(545(51)猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面故选A.7设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(
14、2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解：(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根S11a11，所以(a11)2a1(a11)a10，解得a1，当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，所以2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1 a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.所以当nk1时，结论也成立由可知，Sn的通项公式为Sn(nN*)能力提升综合练1用数学归纳法
15、证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A1 B2 C3 D4解析：选C边数最少的凸n边形为三角形，故n03.2某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立解析：选A因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立3用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN*)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B
16、(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：选D当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.4已知命题12222n12n1及其证明：(1)当n1时，左边1，右边2111，所以等式成立(2)假设nk(k1，kN*)时等式成立，即12222k12k1成立，则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立判断以上评述()A命题、推理都正确 B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确 D命题、推理都不正确解析：选B推理不正确，错在证明nk1时，没有用到假设nk的结论，命题由等比数列
17、求和公式知正确，故选B.5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有_(填序号)假设当nk(kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立；假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk2时命题也成立；假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k时命题也成立假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k1时命题也成立解析：因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当nk(k是正奇数)时命题成立，此时nk2也为正奇数；也可为：假设当n2k1(kN*)时命题成立，此时n2k1也为正奇数故正确答案：6已知123332433n3n13n(nab)对一切
18、nN*都成立，则a_，b_.解析：123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，当n1,2时有即解得答案：7用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立证明：(1)当n2时，左边1，右边，左边右边，所以不等式成立(2)假设nk(k2且kN*)时不等式成立，即，那么，当nk1时，所以，当nk1时不等式也成立由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立8将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的
19、结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134; 当n4时，S1S3S5S725644，猜想：S1S3S5S2n1n4.证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4.那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任何nN*，S1S3S5S2n1n4都成立.
