1、第3讲等比数列及其前n项和最新考纲1理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式2能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2)，q为常数(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数
2、列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；若等比数列an的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列及前n项和的性质(1)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(4)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列辨 析 感 悟1对
3、等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq.()2通项公式与前n项和的关系(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)(2013新课标全国卷改编)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn32an.()3等比数列性质的活用(6)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(7)(2014兰州模拟改编)在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a1125.()(8)(20
4、13江西卷改编)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于2或0.()感悟提升1一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立2两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1或q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当q0时，ln an1ln anln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】 (2013济宁
5、测试)设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn2an3n，设bnan3.求证：数列bn是等比数列，并求an.证明由Sn2an3n对于任意的正整数都成立，得Sn12an13(n1)，两式相减，得Sn1Sn2an13(n1)2an3n，所以an12an12an3，即an12an3，所以an132(an3)，即2对一切正整数都成立，所以数列bn是等比数列由已知得：S12a13，即a12a13，所以a13，所以b1a136，即bn62n1.故an62n1332n3.规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1.若判
6、断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练1】 (2013陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这
7、与已知矛盾假设不成立，an1不是等比数列考点二等比数列基本量的求解【例2】 (2013湖北卷)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由审题路线(1)建立关于a1与q的方程组可求解(2)分两种情况，由an再用等比数列求和求得到结论解(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1或an5(1)n1.(2)若an3n1，则n1，则是首项为，公比为的等比数列从而1.若an5(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有a
8、1a2an的最大正整数n的值为_解析由已知条件得qq23，即q2q60，解得q2或q3(舍去)，ana5qn52n52n6，a1a2an(2n1)，a1a2an2524232n6，由a1a2ana1a2an，可知2n525，可求得n的最大值为12，而当n13时，2825213，所以n的最大值为12.答案12三、解答题4已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.
