1、专题能力提升练 十五坐标系与参数方程(30分钟60分)1.(2018南充二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程.(2)若射线=(0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)由得+y2=1,所以曲线C1的普通方程为+y2=1.把x=cos ,y=sin ,代入(x-1)2+y2=1,得到(cos -1)2+(sin )2=1,化简得到曲线C2的极坐标方程为=2cos .(2)依题意可设A,B.曲线C1的极坐标方程为2
2、+22sin2=3.将=(0)代入C1的极坐标方程得2+2=3,解得1=,将=(0)代入C2的极坐标方程得2=,所以|AB|=|1-2|=-.2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=2cos .(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于P,Q两点,求POQ.【解析】(1)由得l的普通方程为x+y=1+,又因为所以l的极坐标方程为(cos +sin )=1+,(或2sin=1+)由=2cos 得2=2cos ,即x2+y2=2x,所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0
3、.(2)方法一:设P,Q的极坐标分别为(1,1),(2,2),则POQ=|1-2|,由消去得2cos (cos + sin )=1+,化为cos 2+sin 2=,即sin=,因为,即2+,所以2+=或2+=,即或所以POQ=|1-2|=.方法二:曲线C的方程可化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0)且半径为1的圆.将l的参数方程化为标准形式(其中t为参数),代入C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0得,+-2=0,整理得,t2+t=0,解得t=0或t=-1,设P,Q对应的参数分别为t1,t2,则|PQ|=|t1-t2|=1.所以PCQ=,又因为O是圆C上的点,所以POQ=.方法三:
4、曲线C的方程可化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0)且半径为1的圆.又由得l的普通方程为x+y-(1+)=0,则点C到直线l的距离为d=,所以|PQ|=2=1,所以PCQ是等边三角形,所以PCQ=,又因为O是圆C上的点,所以POQ=.3.在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=4,求l的倾斜角.【解析】(1)因为代入y2=4x,所以sin2-4cos =0.(2)不妨设点A,B对应的参数分别是t1,t2,把直线l的参数方程代入抛物线
5、方程得:t2sin2-4cos t-8=0,所以则|AB|=|t1-t2|=4,所以sin =,所以=或.4.(2018潍坊一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2=.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设点M的坐标为(1,0),直线l与曲线C相交于A,B两点,求+的值.【解析】(1)曲线2=,即2+2sin2=2,因为2=x2+y2,sin =y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=2,即+y2=1.(2)将代入x2+2y2=2并整理得(1+sin2)t2+2tcos -1=0,所以t1+
6、t2=-,t1t2=,所以+=,因为|t1-t2|=所以+=2.5.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1,C2的极坐标方程分别为=2sin ,cos=.世纪金榜导学号(1)求C1和C2交点的极坐标.(2)直线l的参数方程为:(t为参数),直线l与x轴的交点为P,且与C1交于A,B两点,求|PA|+|PB|.【解析】(1)C1,C2极坐标方程分别为=2sin ,cos=,化为直角坐标方程分别为x2+(y-1)2=1,x+y-2=0.得交点坐标为(0,2),(1,1).即C1和C2交点的极坐标分别为,.(2)把直线l的参数方程:(t为参数),代入x2+(
7、y-1)2=1,得+=1,即t2-4t+3=0,t1+t2=4,t1t2=3,所以|PA|+|PB|=4.6.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M的参数方程为(为参数),l1,l2为过点O的两条直线,l1交M于A,B两点,l2交M于C,D两点,且l1的倾斜角为,AOC=.(1)求l1和M的极坐标方程.(2)当时,求点O到A,B,C,D四点距离之和的最大值.【解析】(1)依题意,直线l1的极坐标方程为=(R).由消去,得(x-1)2+(y-1)2=1.将x=cos ,y=sin 代入上式,得2-2cos -2sin +1=0,故M的极坐标方程为2-2cos
8、-2sin +1=0.(2)依题意可设A(1,),B(2,),C,D,且1,2,3,4均为正数.将=代入2-2cos -2sin +1=0,得2-2(cos +sin )+1=0,所以1+2=2(cos +sin ),同理可得,3+4=2,所以点O到A,B,C,D四点的距离之和为1+2+3+4=2(cos +sin )+2=(1+)sin +(3+)cos =2(1+)sin.因为,所以当sin=1,即=时,1+2+3+4取得最大值2+2,所以点O到A,B,C,D四点距离之和的最大值为2+2.【加固训练】 (2018蚌埠二模)已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由题意,A,B,C,D的极坐标分别为,.所以A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos ,3sin )|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4(4cos2+9sin2+4)=4(8+5sin2)32,52.关闭Word文档返回原板块
