1、课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为()A B C4 D4B由yax2，变形得x2y2y，p.又抛物线的准线方程是y1，1，解得a.2若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x5的距离小1，则点M的轨迹方程是()Ax4Bx4Cy28xDy216xD依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p8，点M的轨迹的方程为y216x，故选D.3已知AB是抛物线y28x的一条焦点弦，|AB|16，则AB中点C的横坐标是()A3B4C6D8C设A(x1，y1
2、)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212，所以点C的横坐标是6.4以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()Ay4x2By12x2Cy26xDy212xD设抛物线方程为y22px(p0)，则准线方程为x，由题知14，p6，抛物线方程为y212x，故选D.5(2019湖北荆州模拟)从抛物线y24x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()ABCDC设P(x0，y0)，由抛物线y24x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|x019，解得x08，故P
3、点坐标为(8,4)，所以kPF.二、填空题6(2019泰安期末)若抛物线x24y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是_9根据题意，抛物线x24y的准线方程为y1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.7(2019营口期末)直线yk(x1)与抛物线y24x交于A，B两点，若|AB|，则k_.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y24x的焦点，所以|AB|x1x22，所以x1x2.联立得到k2x2(2k24)xk20，所以x1x2，所以k.8(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点
4、坐标为_(1,0) 由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)三、解答题9(2019襄阳模拟)已知点F，M(0,4)，动点P到点F的距离与到直线y的距离相等(1)求点P的轨迹方程；(2)是否存在定直线ya，使得以PM为直径的圆与直线ya的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由解(1)设P(x，y)，由题意得，化简得yx2.点P的轨迹方程为x2y.(2)假设存在定直线ya，使得以PM为直径的圆与直线ya的相交弦长为定值，设P(t，t2)，则以PM为直径的圆方程为22，以
5、PM为直径的圆与直线ya的相交弦长为l22若a为常数，则对于任意实数y，l为定值的条件是a0，即a时，l.存在定直线y，以PM为直径的圆与直线y的相交弦长为定值10如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线解(1)由抛物线定义可得|AF|23，解得p2.抛物线E的方程为y24x.(2)证明：点A(2，m)在抛物线E上，m242，解得m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，直线AF的方程为y2(x1)，由得2x
6、25x20，解得x2或，B.又G(1,0)，kGA，kGB，kGAkGB0，AGFBGF.GF为AGB的平分线B组能力提升1(2019鸡西模拟)已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m|PC|的最小值为()A5B.C2D4B由题意得，圆C的圆心坐标为(3，4)，抛物线的焦点为F(2,0)根据抛物线的定义，得m|PC|PF|PC|FC|.2(2019长春模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()ABCDA设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x
7、2p，所以x1x2.又x1x2，可得x2p，x1，则.故选A3(2019山东枣庄期末)已知抛物线C1：y22px(p0)的焦点F与双曲线C2：1(b0)的一个焦点重合，若点F到双曲线C2的一条渐近线的距离为1，则C1的焦点F到其准线的距离为_4根据题意，双曲线的一个焦点为(，0)，它到一条渐近线yx的距离为b1，所以焦点F(2,0)，所以抛物线方程为y28x，其准线方程为x2，故C1的焦点F到其准线的距离为4.4(2019江西吉安模拟)已知抛物线C1：x22py(p0)与圆C2：x2y25的两个交点之间的距离为4.(1)求p的值；(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，与圆C2交于C，D两点，当k0,1时，求|AB|CD|的取值范围解(1)由题意知，交点坐标为(2,1)，(2,1)，代入抛物线C1：x22py，解得p2.(2)由(1)知，抛物线C1方程为x24y，故抛物线C1的焦点F(0,1)设直线方程为ykx1，与抛物线C1：x24y联立化简得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24，|AB|4(1k2)圆心C2到直线ykx1的距离为d，|CD|222.|AB|CD|4(1k2)288.又k0,1，|AB|CD|的取值范围为16,24
