1、课时素养评价 三向量的数乘 (15分钟30分)1.下列说法中正确的是()A.a(R)与a的方向不是相同就是相反B.若a,b共线,则b=a(R)C.若|b|=2|a|,则b=2aD.若b=2a,则|b|=2|a|【解析】选D.显然b=2a时,必有|b|=2|a|.2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.+=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b) =3,所以A,B,D三点共线.3.(2020铜仁高一检测)在ABC中,点D为AB边上一点,且=,则=()A
2、.+B.-C.-+D.+【解析】选A.因为=,所以-=,所以=+.【补偿训练】设D为ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题意知=+=+=+(-)=-+.4.已知向量a,b不共线,若向量a+b与b+a的方向相反,则等于_.【解析】因为向量a+b与b+a的方向相反,所以(a+b)(b+a),即存在一个负实数m,使得a+b=m(b+a),即(1-m)a=(m-)b.因为a与b不共线,所以1-m=m-=0,可得m=0,所以1-2=0,所以=-1.答案:-15.化简:(1)3a;【解析】(1)原式=a=-a;(2)原式=2a-2b-b+a=a-3b;(3)
3、原式=a-b+c-a-b+c=-a-b+c.(4)原式=a+b=a+b. (20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.点P是ABC所在平面内一点,若=+,其中R,则点P一定在()A.ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上【解析】选B.因为=+,所以-=.所以=.所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.2.已知a,b是两个不共线的向量,=1a+b,=a+2b(1,2R),若A,B,C三点共线,则()A.1=2=-1B.1=2=1C.12+1=0D.12-1=0【解析
4、】选D.若A,B,C三点共线,则,共线,所以存在实数,使得=,即a+2b=(1a+b),即(1-1)a=(2-)b,由于a,b不共线,所以1=1且2=,消去得12=1.3.(2020潍坊高一检测)ABC内,点O满足+2+3=0,直线AO交BC于点D,则下列正确的是()A.3+2=0B.2+3=0C.-5=0D.5+=0【解析】选B.因为+2+3=0,所以2(+)=-(+).设E,F分别为AC,BC的中点,则22=-2=-2,所以O是线段EF的三等分点,所以=,因为OFAB,所以=,所以=,所以=,所以=-2+3=0,由=得=,所以=-+5=0.综上分析可知,只有选项B正确.4.(多选题)下列命
5、题中,正确的是()A.0a=0B.0,a0时,a与a的方向一定相反C.若b=a(a0),则=D.若|b|=|a|(a0),则=|【解析】选BD.A错误,0a=0;B正确,0知,符号相反;根据向量数乘的概念及其几何意义可知,C错误,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.设向量a=3i+2j,b=2i-j,则=_.【解析】原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.答案:-i-5j6.如图所示,在ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M为BC的中点,则=_(用a,b表示).【解析】因为=3,M为BC的中点,则=+=-=-(+)=-=(b-a).答案:(b-a)三、解答题7.(10分)如图,在ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,;(2)证明:B,E,F三点共线.【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则,用,表示出向量,和即可;(2)用a,b表示出向量,证明与共线,从而证明B,E,F三点共线.【解析】(1)在ABC中,=a,=b,所以=-=b-a,=+=+=a+=a+b,=+=-+=-a+b;(2)=-a+b,=+=-+所以与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.
