1、第二课时空间向量的数量积新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的数量积及其性质直观想象2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功WFS|F|S|cos ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念问题(1)空间向量的数量积的定义是什么？(2)空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一样吗？知识点空间向量的数量积1空间向量的夹角如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab；2空间向量数量积的定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作a与b的数量积(也称为内积)，记作ab；3数量积的几何意
2、义(1)向量的投影如图所示， 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a；(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a的数量规定零向量与任意向量的数量积为0.4空间向量数量积的性质(1)abab0；(2)aa|a|2a2；(3)|ab|a|b|；(4)(a)b(ab)；(5)abba(交换律)；(6)(ab)cacbc(分配律)1当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？提示：01802空间向量a在向量b上的投影是向量吗？提示：是向量1下列命题中正
3、确的是()A(ab)2a2b2B|ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若a(bc)，则abac0解析：选B对于A项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，左边右边，故A错误对于C项，数量积不满足结合律，C错误在D中，a(bc)0，abac0，abac，但ab与ac不一定等于零，故D错误对于B项，ab|a|b|cosa，b，1cos a，b1，|ab|a|b|，故B正确2已知空间向量a，b，|a|2，|b|，ab2，则a，b_解析：cos a，b，a，b.答案：3.如图，在正方体ABCDABCD中，则，_， _解析：，又CAB45，45.，180，18045135.答案：4
4、51354已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_，_解析：如图，|cos ，aa cos 45a2.|cos ，aacos 60a2.答案：a2a2空间向量的夹角例1已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值解如图，设a，b，c，且|a|b|c|1.易知AOBBOCAOC，则abbcca.()(ab)，cb，(ab)acbcabb2.又|，cos ，.向量与夹角的余弦值为.求空间向量的夹角求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式cos求解，当ab0，ab0转化为解不等式(组)注意向量与向量的夹角为BAC而与的夹角为BAC.跟踪
5、训练如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则向量与的夹角等于()A45 B60C90 D120解析：选B因为E，F，G，H分别是所在棱的中点所以由三角形中位线定理可得，与同向共线，与同向共线，在正方体中A1BC1为等边三角形，60，故选B.数量积的运算及应用角度一空间向量数量积的运算例2如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)()().解(1)正四面体的棱长为1，则|1.OAB为等边三角形，AOB60，于是|cos ，|cos AOB11cos 60.(2)由
6、于E，F分别是OA，OC的中点，于是|cos ，|cos ，11cos ，11cos 120.(3)()()()()()(2)222212121.母题探究(变条件，变设问)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长解：由题意知()，()，|2(22222)，又|1.且，60，60，60.，.|2，即|，EH的长为.角度二平面向量的投影例3(2021辽宁营口市高二月考)已知|a|4，空间向量e为单位向量，a，e，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为()A2 B2C D解析由题意，|a|4，|e|1，a，e，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为42.故选B.答案B求空间向量数量积的步骤(1)
7、首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式ab|a|b|cos a，b求解注意在求两个向量夹角时，要注意向量的方向跟踪训练1平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1过顶点A的三条棱的夹角分别是，所有的棱长都为2，则AC1的长等于()A3 B2 C2 D2解析：选D，| 2，故选D.2在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()_解析：由已知0，且()，故()()2(|2|2|2)
8、(149).答案：1在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45的是()A与 B与C与 D与解析：选AA、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45，135，90，180，故选A.2在空间四边形ABCD中， ()A1 B0C1 D不确定解析：选B如图，令a，b，c，则，a(cb)b(ac)c(ba)，acabbabccbca0.故选B.3.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60，则|_解析：设a，b，c，|a|b|c|2，a，ba，cc，b60|2|abc|2|a|2|b|2|c|22ab2ac2cb24，|2.答案：24在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，则_解析：如图，由题意()()()|21.答案：15已知空间中四点A，B，E，C，若，则 _(填“”“”或“”)解析：，() 0.答案：
