1、第2讲数形结合思想思想方法简明概述以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.热点探究考向调研调研一判断函数的图象【例1】(1)2019全国卷函数f(x)在，的图象大致为()解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A；f()0，排除
2、C；f(1)，且sin1cos1，f(1)1，排除B，故选D.答案：D(2)2019全国卷函数y在6,6的图象大致为()解析：f(x)，f(x)f(x)，且x6,6，y为奇函数，排除C；当x0时，f(x)0恒成立，排除D；又f(4)7.97，排除A，故选B.答案：B(3)2019浙江卷在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图象可能是() 解析：若0a1，则y是减函数，yloga是增函数，结合选项可知，没有符合的图象，故选D.答案：D方法点睛函数图象的判断可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的奇偶性，判断图象的
3、对称性(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势调研二函数的零点与方程的根【例2】(1)2019浙江卷设a，bR，f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0解析：记g(x)f(x)axb.当x1.当x0，a1)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以当x0时，g(x)恰有2个零点，其图象如下：所以，使g(x)有3个零点的条件为所以b1故选C.答案：C(2)2018全国卷已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析：g(x)f(x)xa存在2
4、个零点等价于函数f(x)与h(x)xa的图象存在2个交点，如图当x0时，h(0)a.由图象可知要满足yf(x)与h(x)的图象存在2个交点，需要a1，即a1，故选C.答案：C(3)2019山东四校联考已知函数f(x)当a0时，f2(x)2f(x)a0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是()A15a8B15aeC15a8D15ae解析：令tf(x)，则方程f2(x)2f(x)a0转化为t22ta0.设关于t的方程t22ta0的解为tt1，tt2，则方程f2(x)2f(x)a0有4个不同的实数根等价于tf(x)的图象与直线tt1，tt2有4个交点，如图由图可知，3t1.设g(t)t22ta，则解
5、得15ab0)，连接F1A.令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|AB|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，则|AF2|a|AF1|，所以点A为椭圆的上顶点或下顶点，如图所示令OAF2(O为坐标原点)，则sin.在等腰ABF1中，cos2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，所以椭圆C的方程为1.故选B.答案：B(2)2019全国卷设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.B.C2D.解析：如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2y2，将x2y2a2记为式，得x，则以O
6、F为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A.答案：A(3)2019北京卷数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()ABCD解析：曲线的方程x2y21|x|y可看成关于y的一元二次方程y2|x|yx210，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，|x|24(x21)
7、0，x2，满足条件的整数x可取1,0,1.当x1时，y0或1，曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)；当x0时，y1或1，曲线C经过的整点有(0，1)，(0,1)；当x1时，y0或1，曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)故曲线C恰好经过6个整点，正确；x2y21|x|y1，x2y22，当且仅当|x|y，即或时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故正确；顺次连接(1,0)，(1，1)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，(0，1)，(1,0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故不正确，故选C.答案：C方法点睛解答解析几何问题，通常要画出图形，实现“数”与“形”的有机结合，这样使“数”更形象、更直观，充分利用图形的几何特征，挖掘题中所给的代数关系和几何关系，避免一些复杂的计算，给解题提供方便
