1、第5讲 数列的综合应用一、选择题1已知an为等比数列下面结论中正确的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a2解析设公比为q，对于选项A，当a11 025的最小n值是 ()A9 B10 C11 D12解析因为a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，则满足Sn1 025的最小n值是11.答案C3某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条
2、生产线拟定最长的生产期限是 ()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2.当n1时也适合，据题意令an150n5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年答案C4在等差数列an中，满足3a47a7，且a10，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n ()A7 B8 C9 D10解析设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da10，即a1(n1)0，所以n0，同理可得n10时，an0.故当n9时，Sn取得最大值答案C5设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f
3、(2n)等于 ()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)2n23n.答案A6若数列an为等比数列，且a11，q2，则Tn的结果可化为()A1 B1C. D.解析an2n1，设bn2n1，则Tnb1b2bn32n1.答案C二、填空题7设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 10
4、08已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.解析赋值法如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x3，y6，2.答案29设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a3a99的值为_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在点(1,1)处的切线斜率kn1，故切线方程为y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1x2x99)lglg 2.答案210数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：a24；数列a1，a2a3，a4a5
5、a6，a7a8a9a10，是等比数列；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和为Tn；若存在正整数k，使Sk10，Sk110，则ak.其中正确的结论有_(将你认为正确的结论序号都填上)解析依题意，将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于.对于，注意到212428，因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24，因此正确对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于，因此不正确，正确对于，注意到数列的
6、前6组的所有项的和等于10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak，因此正确综上所述，其中正确的结论有.答案三、解答题11已知等差数列an的前n项和为Sn，S535，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，因为S55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.12设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公
7、式；(3)证明：对一切正整数n，有2，即3n2n2n，123n1cn(nN*)(1)解设公差为d，则解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以数列bn的首项为b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为Kn221322(n1)2n，故2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1，则1cn0，所以cn1cn(nN*)14设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求证：an是首项为1的等比数列；(2)若a21，求证：Sn(a1an)，并给出等号成立的充要条件证
8、明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.综上，a2对所有nN*成立从而an是首项为1，公比为a2的等比数列(2)当n1或2时，显然Sn(a1an)，等号成立设n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要证的不等式化为：1a2aa(1a)(n3)，即证：1a2aa(1a)(n2)，当a21时，上面不等式的等号成立当1a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为负；当a21时，a1与a1，(r1,2，n1)同为正；因此当a21且a21时，总有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式对r从1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立.
