1、2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）A.B.C.D.3.函数的图象大致为（ ）ABCD4.如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（ ） A.B.C.D.5.已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若，则的展开式中的常数项（ ）A.B.C.20D.
2、7.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个区间上的均匀随机数（，），其数据如下表的前两行.2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.220.840.250.980.150.010.600.590.880.840.100.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这
3、个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）A.B.C.D.10.九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ）A.钱B.钱C.钱D.钱11.已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A.B.C.D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、
4、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A.和B.和C.和D.和第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量，若，则 14.已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为 15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 16.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在中，角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18.某学
5、校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、三级为合格等级，为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，
6、从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.19.如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，.（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.20.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上， 且在第一象限内，直线与圆相切于点，且，求点的纵坐标的值.21.已知函数，（其中是自然对数的底数）.（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.（2）若，求证：. 22.在极坐标系中，曲线的方程为，点.（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直
7、角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.23.设函数，.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：.2017年河南省六市高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CABDC 6-10:BADAB 11、12：AC二、填空题13.3 14.58 15. 16.三、解答题17.解：（1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以.18.解：（1）由题
8、意可知，样本容量.，.（2）样本中成绩是合格等级的人数为人，成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为.设从该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则.（3）样本中等级的学生人数为人，等级的学生人数为3人，故的所有可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为：0123.19.解：（1）因为是直径，所以，因为平面，所以，因为，所以平面，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，所以平面，在中，由（1）知，当且仅当时，等号成立.如图所示，建立空间直角坐标系，则，.则，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设平面
9、的一个法向量为，则，即，取，则，二面角的余弦值为.20.解：（1），椭圆方程为.（2）当轴时，由，解得.当不垂直于轴时，设，方程为，即，与圆相切，又，所以由，得，.综上：.21.解：（1）因为不等式等价于，所以，使得不等式成立，等价于，即，当时，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.又，由于，所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.所以，所以.所以实数的取值范围为.（2）当时，要证，只要证，只要证，只要证，由于，只要证.下面证明时，不等式成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增.所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.故时，；时，.综上所述：时时，成立.22.解：（1），曲线的直角坐标方程为.点的直角坐标为.（2）设，根据题意可得，当时，取最小值2，所以矩形周长的最小值为4.此时点的直角坐标为.23.解：（1）不等式即，或或，由，得；由得，；由，得.所以原不等式的解集为（2）不等式即，且，.
