1、第4节幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.()(4)二
2、次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y2x不是幂函数，(1)错.(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材习题改编)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B.1C. D.2解析因为f(x)kx是幂函数，所以k1.又f(x)的图象过点，所以，所以，所以k1.答案C3.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.caab.答案A4.(2017浙江卷)若函数f(x)x2axb
3、在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关解析设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关.答案B5.若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_.解析二次函数f(x)图象的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.答案(，2考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)(n22n
4、2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A.3 B.1C.2 D.1或2解析(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线yx的上方，对照选项，C正确.(2)幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数，n1，又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.答案(1)C(2)B规律方法1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定
5、.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)(2018德州调研)若a0，则0.5a，5a，5a的大小关系是()A.5a5a0.5a B.5a0.5a5aC.0.5a5a5a D.5a5a0.5a(2)(2018北京东城区一模)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.解析(1)5a，因为a0时，函数yxa单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.(2)在同一坐标系中，作yf(x)的图象与直线yk，如图所示，则当0k0的解集为x|1x0的解集为(1，3)
6、，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实数根，所以(24a)24a9a0，解得a1或a.由于a0，舍去a1.所以f(x)x2x.考点三二次函数的图象与性质的应用(多维探究)命题角度1二次函数的单调性与最值【例31】 (2018兰州调研)已知函数f(x)x22ax3，x4，6.(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数.解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6，f(x)在4，2上单调递减，在
7、2，6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4，故a的取值范围是(，64，).命题角度2二次函数的图象应用【例32】 (2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i()A.0 B.m C.2m D.4m解析由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关
8、于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称.不妨设x1x2xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k0，所以f(x)在(，2上是递减的，在2，)上是递增的.答案A3.在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()解析若a0，yxa的图象知排除A，B选项，但
9、yax的图象均不适合，综上选B.答案B4.若关于x的不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(2，)C.(6，) D.(，6)解析不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1，4)，所以f(x)f(4)2，所以a0的解集是()A.(4，2) B.(2，4)C.(，4)(2，) D.(，2)(4，)解析依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x1，方程ax2bxc0的一个根是2，另一个根是4.因此f(x)a(x4)(x2)(a0)，于是f(x)0，解得x2或xf(a1)的实数a的取值范围
10、.解幂函数f(x)的图象经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2，解得m1或m2.又mN，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数.由f(2a)f(a1)得解得1a2xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017葫芦岛调研)已知f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A.有最小值 B.有最大值C.是减函数 D.是增函数解析由于f(x)在(，1)上有
11、最小值，所以xa1，g(x)x2a，若a0，则g(x)在(0，)和(，0)上单调递增，则g(x)在(1，)上单调递增.若0a0)，当1x1时，|f(x)|1恒成立，则f _.解析当x1，1时，|f(x)|1恒成立.因此n1，f(0)1，f(1)1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m2，f(x)2x21，f .答案13.已知函数f(x)ax2bxc(a0，b，cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，从而|f(x)|1在区间(0，1上恒成立等价于1x2bx1在区间(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立.又x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2，0.
