1、26.3曲线的交点(教师用书独具)三维目标1知识与技能领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法，即首先要求学生充分了解几种位置关系，为解决有关问题做准备2过程与方法掌握解决直线和圆锥曲线的位置基本方法这是本节的重点内容，主要介绍两种方法：(1)代数法；(2)几何法其中又以代数法为重点，即利用直线和圆锥曲线对应方程的解的个数判别直线与圆锥的位置关系，领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法3情感、态度与价值观通过对曲线间不同位置关系的探讨，培养运动变化的辩证唯物主义观点，这是本节的德育目标，从而培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神，形成科学的认识观和方法论重点难点重点：研究曲线与直线位
2、置关系的解析方法难点：弦长公式的推导及应用(教师用书独具)教学建议 学生已经学习了直线、圆以及三种圆锥曲线，利用解析法研究了它们的方程和几何性质，初步具备了求曲线交点及弦长的知识，因此，本节的重点在于总结和归纳，将直线与直线，直线与圆，直线与圆锥曲线，圆锥曲线与圆锥曲线的知识提升为曲线与曲线的知识，高屋建瓴，统一规律在教法上，采用启发式教学，因材施教，采用求交点交点个数的讨论直线与圆锥曲线的弦问题圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系的顺序逐步深入，由浅入深学法上，由具体到抽象，由已知到未知，由特殊到一般，由理论到实践，讲练结合，互动探究教学流程 回顾实例，导入新课通过回顾直线与直线，直线与圆，直线与圆
3、锥曲线交点坐标的实例，引出曲线交点坐标的求法，即联立方程组通过解方程组求解坐标，体现解析法的应用，通过求两条圆锥曲线的交点，将理论应用于实践在求两条曲线交点的基础上，讨论两条曲线交点个数问题及其位置关系问题，讨论的方法是转化为方程根的个数问题，利用方程思想进行讨论重点是直线与圆锥曲线的公共点个数的讨论直线与圆锥曲线的弦长及弦中点问题归纳推导弦长公式是个难点，但它是求弦长的工具，学生必须掌握，弦中点主要是中点坐标公式的应用，二者都与方程思想建立联系，对交点坐标设而不求，体现一定的解题技巧通过例1及变式训练，使学生掌握直线与圆锥曲线交点个数的讨论方法注意区分直线与椭圆，双曲线，抛物线问题的区别，即
4、所得方程二次项系数是否有可能为零的问题，并分清为零的真正原因通过例2及变式训练，使学生掌握直线与圆锥曲线的弦长及弦中点问题的处理策略与步骤，弦长问题主要依靠弦长公式与根与系数的关系的结合，弦中点问题主要依靠代点法，整体来说，是方程思想，设而不求通过例3及变式训练，使学生掌握与直线和圆锥曲线有关的综合问题的处理办法，如最值问题，定值问题，参数取值范围问题，对称问题，轨迹问题等，处理的基本思想仍然是方程思想通过易错易误辨析，体会直线与抛物线交点个数问题的讨论方法的严谨性，既要注意直线斜率存在与否，又要考虑直线是否平行于对称轴归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固基本知
5、识，形成基本能力.课标解读1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数(重点)2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题(难点)3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论(易错点)两条曲线的交点【问题导思】对于曲线C1：f1(x，y)0，曲线C2：f2(x，y)0，怎样判断它们的公共点个数，如何求其公共点坐标？【提示】联立方程组，方程组的解即是公共点坐标，方程组有几组解，两曲线就有几个公共点对于曲线C1：f1(x，y)0和曲线C2：f2(x，y)0：(1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点.(2)求两条曲线的交点，就是求方程组的实数解.弦长公式
6、设直线l方程为ykxb，l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为：AB|x1x2|y1y2|.曲线的公共点个数问题已知椭圆4x2y21及直线yxm，当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围【思路探究】联立消元，得一元二次方程判别式解不等式【自主解答】由得5x22mxm210.4m245(m21)2016m2.直线与椭圆有公共点，0，即2016m20.m.因此，m的取值范围为m.1直线与椭圆公共点个数的讨论，就是方程思想的应用，主要步骤是联立，消元，判别式求解2直线与双曲线、抛物线只有一个公共点和直线与椭圆只有一个公共点的问题不完全一样，在解题时要认真区别已知双曲线
7、y21和定点P(2，)，过点P可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？【解】(1)若过定点P的直线l的斜率存在，设过定点P(2，)的直线l的方程为：yk(x2)，与y21联立消去y，得(14k2)x2k(416k)x(16k28k5)0.当14k20，即k时，上式变为一元一次方程解得x或x.l与双曲线分别交于(，)和(，)，此即过点P且平行于渐近线的情形当14k20时，由0，得k，此时l：y(x2)，交点为(，)(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，与双曲线也只有一个交点，过点P有四条直线与双曲线只有一个公共点.弦的问题已知双曲线x21，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点若P为A
8、B的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长【思路探究】(1)利用点差法求弦AB的斜率；(2)利用弦长公式求弦AB的长【自主解答】(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2y23，得3xy3,3xy3，两式相减得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即3，所以直线AB的斜率kAB6.所以直线AB的方程为6xy110.(2)将y6x11代入3x2y23，得33x2132x1240，由弦长的公式AB得AB，所以|AB|.1弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷2求弦长要分一般弦还是焦点弦，若是一般弦，利用一般弦长公式，若是焦点弦，可利用
9、圆锥曲线的统一定义求解设双曲线的顶点是椭圆1的焦点，该双曲线又与直线x3y60交于A，B两点，且OAOB(O为坐标原点)(1)求此双曲线的方程；(2)求AB.【解】(1)已知椭圆的焦点为(0，1)，即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y2mx21(m0)又直线x3y6.A(x1，y1)、B(x2，y2)是方程、组成的方程组的两个解由得：(m)x2x30，当m时，显然不满足题意，当m时，则，又OAOB，所以x1x2y1y20，x1x2y1y2x1x2(x1x2)40，()40.m，经验证，此时0.双曲线的方程为y21.(2)，AB4.直线与圆锥曲线的综合问题如图262，已知抛物线y22px(p0
10、)，过点(2p,0)的直线与抛物线相交于A、B两点问三角形AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由图262【思路探究】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，SAOB2p|y1y2|.【自主解答】设直线方程为myx2p.由得my2p，所以y22pmy4p20.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|y1y2|.所以SAOB2p|y1y2|2p2.当m0，即AB垂直于x轴时，Smin4p2.1对于三角形的面积计算要灵活，本例中正是借助定值2p，利用三角形分割计算其面积，以便于应用韦达定理2对于面积的最值问题，一般的解法是：设出变量，将三角形面积表示为该变量的函数，转
11、化为函数最值求解在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.设椭圆C2：4x2y21.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值【证明】当直线ON垂直于x轴时，ON1，OM，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx(显然|k|)，则直线OM的方程为yx.由，得，所以ON2.同理可得OM2.设O到直线MN的距离为d.在RtMON中，(OM2ON2)d2OM2ON2，即3，解得d.综上可知，O到直线MN的距离是定值. 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点P(1,1)，且与抛物线y22x只有一个公共点的直线l的
12、方程【错解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)(k0)，由消去x，得ky22y2k20.因为抛物线与直线只有一个公共点，所以44k(2k2)0，解得k.故所求直线l的方程为(1)x2y10或(1)x2y10.【错因分析】错解中忽略了与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点的情况，故产生漏解【防范措施】直线与抛物线只有一个公共点可分相交或相切两种情况，务必注意当直线与抛物线的对称轴平行(或重合)时相交，并非相切【正解】直线l：ykxb与抛物线y22px(p0)公共点的个数等价于方程组的解的个数(1)若k0，则当0时，直线与抛物线相交
13、，有两个公共点；当0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m0，得k且k0.故由“k0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但由“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k0”即“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充分条件【答案】必要不充分6直线ykx2与椭圆x24y280相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点的横坐标为2，则弦长PQ_.【解析】先利用点差法求出直线斜率，再利用弦长公式求解【答案】67过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则这样的直线l有_条【
14、解析】由于a1，2a20，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得.又直线AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.【答案】1二、解答题9已知一直线与椭圆4x29y236相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程【解】易知直线AB的斜率必存在，设通过点M(1,1)的直线AB的方程为yk(x1)1，代入椭圆方程，整理得(9k24)x218k(1k)x9(1k)2360.设A、B的横坐标分别为x1、x2，则1.解得k，故AB方程为y(x1)1.所求方程为4x9y130.10若直线
15、y2xb被曲线y24x截得的弦AB的长为3，求b的值【解】联立方程得4x2(4b4)xb20(*)，设两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得故AB|x1x2|3.化简，得3，于是b4，当b4时，方程(*)的判别式为(4b4)216b232b1632(4)161440.故直线与曲线有两个交点，于是所求的b的值为4.11(2013玉溪高二检测)直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【解】(1)由得(k
16、22)x22kx20.据题意：，解得2k0，b0)的离心率e，过A(0，b)和B(a,0)的直线与原点距离等于.(1)求双曲线的方程；(2)直线ykxm(k0，m0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围【思路探究】利用方程思想，运用一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系来处理问题【自主解答】(1)由题设得解得a23，b21.方程为y21.(2)把直线方程ykxm代入曲线方程，并整理，得(13k2)x26kmx3m230，直线与双曲线交于不同两点，0，m213k20.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2.C、D在直线ykxm上，y1y2
17、kx1mkx2mk(x1x2)2m.设CD中点为P(x0，y0)，由中点公式，有x0，y0.依题意APCD，kAP，整理得3k24m1.将代入有m24m0，m4或m0，即m.m的取值范围为m4或m0，b0)交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围【解】(1)设C(x，y)，(x，y)(1,0)(0，2)，21，xy1，即点C的轨迹方程为xy1.(2)由得(b2a2)x22a2xa2a2b20，由题意得b2a20，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.以MN为直径的圆过原点，0，即x1x2y1y20，x1x2(1x1)(1x2)1(x1x2)2x1x210，即b2a22a2b20.2为定值(3)e，e23，2，b2，13，即12a2，0a，从而02a1.双曲线实轴长的取值范围是(0,1
