1、河北省邢台市桥西区第一中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据椭圆的几何性质可得集合，集合，则，故选B.2.下列有关命题的说法错误的是（ ）A. 若“”为假命题，则均为假命题B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的必要不充分条件是“”D. 若命题，则命题【答案】C【解析】【分析】根据复合命题真假的判断方法判断A；根据充分条件和必要条件可判断B、C；根据含有一个量词的命题的否定可判断D【详解】对A，“”为假命题，则和均为
2、假命题，故A正确；对B，当“”时，“”成立；当“”时，“”不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对C，当“”时，或，故“”不一定成立；当“”时，“”成立，故“”的充分不必要条件是“”；故C错误；对D，若命题，则命题，故D正确故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查复合命题，充分条件和必要条件及含有一个量词的命题的否定，属于基础题3.下面四个命题：其中正确的有（ ）是两个相等的实数，则是纯虚数；任何两个复数不能比较大小；若，且，则；两个共轭复数的差为纯虚数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据复数概念进行判断选择.【详解】时，不是纯虚数；
3、任何两个实数可以比较大小；若，且，但；设,则其共轭复数的差为或为纯虚数综上正确的有，选A.【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算，以及共轭复数和复数模的理解，可得结果.详解】，由，所以则，即，所以，所以故选：B【点睛】本题考查的是复数的运算，属基础题.5.已知复数满足，则的虚部为-3，则的实部为（ ）A. -1B. 1C. 3D. 5【答案】B【解析】虚部为-3，,则实部为1，故本题正确答案是 6.已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）A.
4、或B. 或C. D. 【答案】B【解析】由题意得，解得或当时，曲线方程为，故离心率为；当时，曲线方程为，故离心率为所以曲线的离心率为或选B7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为抛物线的顶点在原点且与双曲线有相同的焦点，所以抛物线的方程为.故选D.8.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由原方程可得，其焦点为，顶点为，据此可写出所求椭圆方程.【详解】由原方程可得，所以双曲线的焦点为，顶点为椭圆的顶点为，焦点为，即，所以所求的椭圆方程为，故选B.【点睛】本题主要考
5、查了双曲线的方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.9.已知双曲线左焦点为F，左顶点为C，过点F作圆O：的两条切线，切点为A、B，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：连结，则，由，得为正三角形，又在中，可得，双曲线的渐近线方程为.考点：双曲线的渐近线.10.设a为实数，函数的导函数是，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数加法法则，可得，结合偶函数概念可得，根据曲线在某点处的导数几何意义，可得结果.【详解】由所以，又是偶函数，所以，即所以则，所以曲线在原点处的
6、切线方程为故选：A【点睛】本题重在考查曲线在某点处的切线方程，要审清题干，注意：是在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，属基础题.11.点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据曲线在某点处的几何意义，可得曲线在任意一点处的切线的斜率，化简式子，结合斜率与倾斜角的关系，可得结果.【详解】根据题意可知：则 令所以可知曲线在点P处的切线的斜率范围为，所以故故选：B【点睛】本题重在考查曲线在某点处导数的几何意义，属简单题.12.已知、为等轴双曲线的左、右焦点，且焦距为，点是的右支上动点，过点向的一条渐近线作垂线，垂足为，
7、则的最小值是（ ）.A. 6B. C. 12D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得a=b，又由双曲线定义将转化为|PF2|+4，只需P、H、共线时即可，此时|PF2|最小为=b=2，由此得结论.【详解】由双曲线的焦距为，即有2c，可得c，由等轴双曲线可得a=b，又a2+b2c2，a=b=2，又由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a=4，则|PF2|+4，要使|PF2|最小，只需P、H、共线,过作渐近线的垂线交右支于P，此时|PF2|最小为=b=2，的最小值为6，故选A【点睛】本题考查双曲线的定义的应用及性质，注意运用两点之间直线段最短的结论，考查分析问题的能力，属于基础题第II卷二、填空题
8、：本大题共4小题，把答案填写在题中横线上.13.若是方程的一个根，则_.【答案】38；【解析】【分析】假设另外一个根为，根据是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为，是方程的一个根，则 由，可知是的共轭复数，所以 把代入可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题14.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是 米【答案】4【解析】试题分析：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=2，解得a=8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽
9、度解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=2，解得a=8，当水面上升米后，y=2+=，x2=（8）（）=12解得x=2，或x=2，水面宽为4（米）故答案为415.函数，若，使得，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用导数判断单调性，可得，判断的单调性，可得，根据，可得结果【详解】由，所以令，得或又当时，当时，所以函数在单调递减在单调递增，所以又在单调递增所以根据题意：若，使得即，所以可得得取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查恒成立与存在性问题的结合，这种题型往往转化为最值问题，属中档题.16.已知双曲线
10、C：，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率e的取值范围是_.【答案】（1，2）【解析】【分析】计算出的长度，根据点与圆的位置关系，结合离心率的表示，可得结果.【详解】由题意可知：左焦点，右顶点坐标为且直线是过点垂直x轴的直线设点在x轴上方所以可得，即，又双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外所以，即，因为所以则，又即，且所以，即故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，此种题型是高考常考题型，题目多变，审清题干，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，其中为虚数单位，.
11、（）若，求实数的值；（）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的运算，化简得, 再由，列出方程，即可求解；（2）根据复数在复平面内对应的点位于第一象限，得到不等式且，即可求解【详解】（1）由题意，根据复数的运算，可得, 由，则， 解得. （2）由在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类与表示，其中解答中根据复数的运算，求得复数，再根据复数的分类和复数的表示列出相应的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题18.已知命题p：方程表示焦点在x上的椭圆；命
12、题q：双曲线的离心率.（I）若“”是假命题，求实数m的取值范围；（II）若“为假，为真”，求实数m的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）根据真值表可得p和q都为真命题，结合椭圆定义以及双曲线离心率的表示，可得结果.（II）根据真值表可得p，q中一真一假，结合（I）的条件，可得结果.【详解】解：（I）若“”是假命题，则和均为假命题，即p和q都为真命题.若p真则；若q真则且故使“”为假命题的m的取值范围为.（II）依题意p，q中一真一假若p真q假则；若p假q真则；.【点睛】本题重在考查真值表判断命题的真假，还考查由命题真假求参数范围的问题，审清题干细心计算，属中档题.19.已知
13、函数在处取得极值，且其图象在点处的切线恰好与直线垂直.（I）求实数a，b的值及f（x）的极大值；（II）若函数f（x）在区间上单调递增，求m的取值范围.【答案】（I）；极大值（II）或【解析】【分析】（I）根据曲线在某点处的导数的几何意义，以及极值点的条件，结合导数判断函数单调性，可得结果.（II）根据（I）的条件，可得结果.【详解】解：（I），依题意：，令得或.当或时，；当时，故f（x）在，单调递增，在上单调递减.所以当时，f（x）取得极大值.（II）由（I）知f（x）的增区间为，又因为函数f（x）在区间上单调递增则：或，或，解得m的取值范围为：或.【点睛】本题重在考查利用导数判断函数单调性
14、的问题，属基础题.20.已知抛物线C：的焦点为F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且（）求C的方程；（）点在抛物线C上，是否存在直线与C交于点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由【答案】（）（）【解析】试题分析：（）根据抛物线定义得，解得，所以C方程为，（）先利用坐标转化条件以为斜边的直角三角形：，再根据直线与抛物线联立的方程组，利用韦达定理得，代入上式即可证得，本题实质以算代证.试题解析：（）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为（）由知，点，假设存在满足条件的直线，设，联立方程组得，由题意得，代入得，解得（舍）或，考点：抛物线定义，直线与抛物
15、线位置关系21.已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积【详解】（1）由已知得，解得，又，所以椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由得，设、的坐标分别为，（），中点为，则，因为是等腰的底边，所以所以的斜率为，解得，此时方程为解得，所以，所以，
16、此时，点到直线：的距离，所以的面积考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键22.设函数（I）求函数f（x）单调区间；（II）若，求证：时，.【答案】（I）当时，f（x）的单调减区间为；当时，f（x）的单调减区间为，单调减区间为（II）见详解【解析】【分析】
17、（I）采用分类讨论的方法，结合导数判断函数单调性，可得结果.（II）构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，并求最小值，与0比较大小，可得结果.【详解】解：（I）若时，则，f（x）在上单调递减；若时，令解得：当时，则，f（x）单调递减；当时，则，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）的单调减区间为当时，f（x）的单调减区间为，单调减区间为（II）当时，要证，即证，亦即证令，则由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，h（x）为减函数，当时，h（x）为增函数，所以当，时，即.【点睛】本题考查利用导数判断含参数函数的单调性，还考查了利用导数证明式子大小，熟练掌握分类讨论的思想，学会构建新的函数，通过研究新函数，化繁为简，属中档题.
