1、高考资源网（） 您身边的高考专家重庆市铜梁中学2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1已知集合M=x|y=x2+1，N=y|y=，则MN=( )A（0，1）Bx|x1Cx|x0Dx|x12设复数z满足（z+i）（1+i）=1i（i是虚数单位），则|z|=( )A1B2C3D43命题“若x1，则x22”的否定是( )Ax1，x22Bx1，x22Cx1，x22Dx1，x224若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A180B120C90D455一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下
2、部分的几何体的体积为( )AB+C+D+26若抛物线C：y2=2px（p0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为( )Ay2=2xBy2=（4）xCy2=2x或y2=18xDy2=3x或y2=（4）x7如图所示的算法中，令a=tan，b=sin，c=cos，若在集合中，给取一个值，输出的结果是sin，则值所在范围是( )ABCD8已知菱形ABCD的边长为4，ABC=150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率( )ABCD9已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba=cb=1且C=2A，则cosC=( )ABCD10已知函数f（x
3、）=，则关于x的方程f（x+1）=a的实根个数最多为( )A5个B6个C7个D8个二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2： 3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n=_12若x0，y0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为_13等差数列an的前n项和为Sn，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q=_考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，AB是圆O的直径，过A
4、、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么ACAP+BDBP的值等于_15直线l：（t为参数）与圆C：（为参数）相交所得的弦长的取值范围是_16设函数g（x）=|x3m|+|x1|，mR若存在x0R，使得g（x0）40成立，则m的取值范围为_三、解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）当x，时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，cN*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值18某公司春节联欢会中
5、设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，10的十个小球活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19已知函数f（x）=exax1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，若函数f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a的值20如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD=60，A1A=AB，E为BB1
6、延长线上的一点，D1E面D1AC，设AB=2（1）求二面角EACD1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由21如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D（均不重合）若2=3，求l1与l2的方程22设函数fn（x）=xn（1x）2在，1上的最大值为an（n=1，2，）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n2），都有an成立；（
7、3）若数列an的前n之和为Sn，证明：对任意正整数n都有Sn成立重庆市铜梁中学2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1已知集合M=x|y=x2+1，N=y|y=，则MN=( )A（0，1）Bx|x1Cx|x0Dx|x1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可解答：解：由M中y=x2+1，得到xR，即M=R，由N中y=0，得到N=x|x0，则MN=x|x0，故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设复数z满足（z+i）（1+i）=1i（i是虚数单位），
8、则|z|=( )A1B2C3D4考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长解答：解：（z+i）（1+i）=1i，z+i=i，z=2i|z|=2故选：B点评：本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属基础题3命题“若x1，则x22”的否定是( )Ax1，x22Bx1，x22Cx1，x22Dx1，x22考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断解答：解：全称命题的否定是特称命题，命题若x1，则x22”的否定是：x1，x22故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全
9、称命题比较基础4若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A180B120C90D45考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，n=10故展开式的通项公式为Tr+1=2rx2r=2r，令=0，求得r=2，故展开式中的常数项是 22=180，故选：A点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图
10、，则余下部分的几何体的体积为( )AB+C+D+2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图求出圆锥母线，高，底面半径进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，圆锥母线l=2，圆锥的高h=2，圆锥底面半径为r=2， 截去的底面弧的圆心角为120，截去的面积是底面圆面积的，底面剩余部分为S=r2+sin120=+，故几何体的体积为：V=Sh=（+）2=+，故选：B点评：本题考查几何体体积计算本题关键是弄清几何体的结构特征，是易错之处6若抛物线C：y2=2px（p0）上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为( )Ay2=2x
11、By2=（4）xCy2=2x或y2=18xDy2=3x或y2=（4）x考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线上点P到x轴的距离3，设P的坐标为（x0，3）根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为5，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案解答：解：抛物线y2=2px（p0）上一点到x轴的距离3，设该点为P，则P的坐标为（x0，3）P到抛物线的焦点F（，0）的距离为5，由抛物线的定义，得x0+=5（1）点P是抛物线上的点，2px0=9（2）由（1）（2）联立，解得p=1，x0=或p=9，x0=则抛物线方程为y2=2x或y2=18x故选：C
12、点评：本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7如图所示的算法中，令a=tan，b=sin，c=cos，若在集合中，给取一个值，输出的结果是sin，则值所在范围是( )ABCD考点：选择结构；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：程序框图的功能是求a，b，c的最大值，根据输出的结果是sin，建立不等式，然后在给定范围内解三角不等式即可解答：解：程序框图的功能是求a，b，c的最大值输出的结果是sin，sin最大即解得 故选D点评：本题主要考查了选择结构，以及解三角不等式，弄清算法功能是解
13、题的关键，属于基础题8已知菱形ABCD的边长为4，ABC=150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率( )ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：以菱形ABCD的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均不小于1因此算出菱形ABCD的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率解答：解：分别以菱形ABCD的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示在菱形ABCD内任取一点P，则点P位于四个圆的外部或在圆上时，满足点P到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域S菱形ABCD=ABB
14、Csin30=44=8，S阴影=S菱形ABCDS空白=812=8因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P=1故选：D点评：本题给出菱形ABCD，求在菱形内部取点，使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题9已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba=cb=1且C=2A，则cosC=( )ABCD考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：根据已知等式表示出b与c，利用余弦定理得到cosC与cosA，将表示出的b与c代入表示出cosC与cosA，根据C=2A，得到cosC=cos2A=2cos2
15、A1，将表示出的cosC与cosA代入求出a的值，即可确定出cosC的值解答：解：由ba=cb=1，得到b=a+1，c=a+2，cosC=，cosA=，C=2A，cosC=cos2A=2cos2A1，即=2（）21，解得：a=4，cosC=，故选：D点评：此题考查了余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x+1）=a的实根个数最多为( )A5个B6个C7个D8个考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：将x+1视为一个整体，利用换元的思想方法和已知中函数f（x）=，结合二次函数，指数函数的图象和性质，及函数图
16、象的对折变换，分类讨论，可得答案解答：解：令t=x+1，则t（，31，+），画出函数f（x）=，x（，31，+）时的图象如下图所示：，由图可知：当a，1）时，关于x的方程f（x）=a的实根个数最多为3个，故关于x的方程f（x+1）=a的实根个数最多为6个，故选：B点评：本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品，它们的数量之比分别为2：3：4，现采用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲种商品有12件，则此样本容量n=54考点：分层抽样方法 专题
17、：概率与统计分析：根据在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，列出比例关系式求得n值解答：解：在分层抽样中，各部分抽取的比例相等，=n=54故答案为：54点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握方程抽样的特征是解题的关键12若x0，y0，且ln3x+ln27y=ln3，则+的最小值为12考点：对数的运算性质；基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由对数等式得到x+3y=1，把+化为（+）（x+3y），展开后利用基本不等式求最值解答：解：由ln3x+ln27y=ln3，得ln（3x27y）=ln3，即3x+3y=3，x+3y=1又x0，y0，+=（+）（x+3y）=6+当且仅当，即时上式等
18、号成立+的最小值为12故答案为：12点评：本题考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，关键在于对“1”的灵活运用，是中低档题13等差数列an的前n项和为Sn，若S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，则q=3或考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，可得a1=2d或a1=d，根据q=，可得结论解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则S1，S2，3S3成公比为q的等比数列，2（2a1+d）2=a13（3a1+3d），a1=2d或a1=d，q=3或故答案为：3或点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，正确
19、运用等差数列的通项公式是关键考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是2，那么ACAP+BDBP的值等于16考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：连接AD、BC，过P作PMAB，则ADB=AMP=90，可得点D、M在以AP为直径的圆上；M、C在以BP为直径的圆上由割线定理，即可得出结论解答：解：连接AD、BC，过P作PMAB，则ADB=AMP=90，点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上由割线定理得：APAC=AMAB，BPBD=BMB
20、A，APAC+BPBD=AMAB+BMAB=AB（AM+BM）=AB2=16故答案为：16点评：本题考查了割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用割线定理是关键15直线l：（t为参数）与圆C：（为参数）相交所得的弦长的取值范围是4，16考点：参数方程化成普通方程 专题：直线与圆；坐标系和参数方程分析：把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可解答：解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanx+1；圆C的参数方程（为参数），化为普通方程是（x2）2+（y1）2=64；画出图形，如图所示；直线过定点（0，1），直线被圆截得的
21、弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2=2=4弦长的取值范围是4，16故答案为：4，16点评：本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题16设函数g（x）=|x3m|+|x1|，mR若存在x0R，使得g（x0）40成立，则m的取值范围为（1，）考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为|3m1|，结合题意可得|3m1|4，即43m14，由此求得m的范围解答：解：函数g（x）=|x3m|+|x1|（x3m）（x1）|=|3m1|，g（x）的最小值为|3m1|根据存在x0R，使
22、得g（x0）40成立，可得|3m1|4，故有43m14，求得1m，故答案为：点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）当x，时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（2）设锐角ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，cN*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公
23、式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解解答：解：（1）f（x）=sin2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，x，2x，sin（2x）1，当sin（2x）=1时，即2x=，得x=，f（x）取得最大值；当sin（2x）=时，即2x=，得x=，f（x）取得最小值；（2）向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，a=1，b=2，由余弦定理c2=1+4212cosC=54cos，0C，0cosC1，1c25，1c，cN*，c=2，经检验符合三角形要求，c的
24、值2点评：本题重点考查三角公式及其灵活运用，正弦定理的推论，余弦定理及其应用等知识，属于中档题18某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，10的十个小球活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题分析：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是
25、C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果解答：解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，一等奖的概率P（=240）=，P（=60）=P（=30）=，P（=0）=1变量的分布列是03060240PE =20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1四次抽奖是相互独立的中奖次数B（4，）D=4点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差
26、公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式19已知函数f（x）=exax1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，若函数f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a的值考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 专题：导数的综合应用分析：（1）通过f（x）=exax1，可得f（x）=exa，结合导数分a0、a0两种情况讨论即可；（2）一方面，由题意及（1）知当a0时，fmin（x）=f（lna）=aalna10，另一方面通过研究g（a）=aalna1 （a0）的单调性得g（a）g（1）=0，所以g（a）=0，解得a=1解答：解：（1）函数f（x）=ex
27、ax1，f（x）=exa，当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递增；当a0时，令f（x）=0，解得x=lna，当x（，lna）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（lna，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；（2）由题意及（1）知当a0时，fmin（x）=f（lna），f（lna）0，即aalna10，记g（a）=aalna1 （a0），则g（a）0，令g（a）=1（lna+1）=lna=0，解得a=1，g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，g（a）g（1）=0，故g（a）=0，解得a=1点评：本题考查函数的单调性，最值，构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键，属于
28、中档题20如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD=60，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC，设AB=2（1）求二面角EACD1的余弦值；（2）在D1E上是否存在一点P，使A1P面EAC？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，请说明理由考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）设ACBD=O，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角EACD1的余弦值（2）设，由A1P面EAC，解得，由此推导出存在点P使A1P面EAC，此时D1P：PE=3：2解答：解：（1）设ACBD=O，
29、如图所示建立空间直角坐标系Oxyz，则A（），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，2），设E（0，1，2+h），则=（0，2，h），=（），D1E平面D1AC，D1EAC，D1ED1A，22h=0，解得h=1，即E（0，1，3），设平面EAC的法向量为，则由 令z=1，得平面EAC的一个法向量为又平面D1AC的法向量为=（0，2，1），cos=，二面角EACD1的余弦值为（2）设，得，=（，）A1P面EAC，解得，存在点P使A1P面EAC，此时D1P：PE=3：2点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21
30、如图，焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为（1）求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，与两椭圆T1，T2分别交于点A，C与点B，D（均不重合）若2=3，求l1与l2的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用待定系数法设方程，根据焦点在x轴上的椭圆T1与焦点在y轴上的椭圆T2相切于点M（0，1），且椭圆T1与T2的离心率均为，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆T1与椭圆T2的方程；（2）设出直线l1的方程，分别和椭圆T1的方程及椭圆T2方程联立，求出
31、A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，利用2=3，求出k的值，则l1与l2的方程的方程可求解答：解：（1）设椭圆T1：+=1ab0，椭圆T2：（nm0），则，解得，椭圆T1：，椭圆T2：4x2+y2=1；（2）设l1的方程为y=kx+1，与椭圆T1联立，得：（4k2+1）x2+8kx=0，由xA0，xA=，代入y=kx+1得：yA=A（，）同理C（，）把A，C中的k置换成，可得B（，），D（，），由2=3，可得2xAxC+yAyC（yA+yC）+1=3（xBxD+yByD（yB+yD）+1，代入计算可得k=k=，l1的方程为y=x+1；l2的方程为y=x+1；k=，l1的方程为y
32、=x+1，l2的方程为y=x+1点评：本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题22设函数fn（x）=xn（1x）2在，1上的最大值为an（n=1，2，）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n2），都有an成立；（3）若数列an的前n之和为Sn，证明：对任意正整数n都有Sn成立考点：数列的求和 专题：证明题；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）易求fn（x）=xn1（1x）n（1x）2x，经分析可得n=1时，；当时fn（x）0，当时fn（x）0，函数fn（x）在处取得最大值，从而可得数
33、列an的通项公式；（2）当n2时，利用分析法：要证，即证，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；（3）当n=1，2时结论成立；当n3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有Sn成立解答：解：（1）由，当时，由f（x）=0得x=1或；当n=1时，f1（x）=0，则 ；当n=2时，则；当n3时，而当时fn（x）0，当时fn（x）0，故函数fn（x）在处取得最大值，即：，综上：（2）当n2时，要证，即证，而，故不等式成立（3）当n=1，2时结论成立；当n3时，由（2）的证明可知：，从而点评：本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题高考资源网版权所有，侵权必究！
