1、第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.(一题多解)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.3答案D解法一:由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A=23,3b2-8b-3=0,b=3b=-13舍去.故选D.解法二:由cos A=23得sin A=53,根据asinA=csinC得sin C=23,所以A与C互余,故ABC为直角三角形,且B=90,因此b=a2+c2=3.2.(2018课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2
2、B.3C.4D.6答案C因为a2+b2-c2=2abcos C,且SABC=a2+b2-c24,所以SABC=2abcosC4=12absin C,所以tan C=1,又C(0,),所以C=4.故选C.3.(2018湖北武汉调研)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcos C=2a+c,则B=()A.6B.4C.3D.23答案D因为2bcos C=2a+c,所以由正弦定理可得2sin Bcos C=2sin A+sin C=2sin(B+C)+sin C=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin C,即2cos Bsin C=-sin C,又sin C0,所以c
3、os B=-12,又0B,所以B=23,故选D.4.在ABC中,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D由已知得1+cos2C1+cos2B=2cos2C2cos2B=cos2Ccos2B=bcosCccosB,cosCcosB=bc或cosCcosB=0,所以C=90或cosCcosB=bc.当C=90时,ABC为直角三角形.当cosCcosB=bc时,由正弦定理,得bc=sinBsinC,cosCcosB=sinBsinC,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin
4、2C=sin 2B.B,C均为ABC的内角,2C=2B或2C+2B=180,B=C或B+C=90,ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.5.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12B.6C.4D.3答案B在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,
5、sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34.由asinA=csinC得222=2sinC,sin C=12,又0Cc,则bc=.答案2解析由acos B-c-b2=0及正弦定理可得sin Acos B-sin C-sinB2=0.因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以-sinB2-cos Asin B=0,所以cos A=-12,即A=23.由余弦定理得a2=72bc=b2+c2+bc,即2b2-5bc+2c2=0,又bc,所以bc=2.8.(一题多解)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则sin A=.答案3
6、1010解析解法一:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD=a3,B=4,AD=BD,BAD=4,BD=a3,DC=23a,tanDAC=DCAD=2.tanBAC=tan4+DAC=tan4+tanDAC1-tan4tanDAC=1+21-2=-3.cos2BAC=11+tan2BAC=110,sinBAC=1-cos2BAC=31010.解法二:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD=a3,B=4,AD=BD,BD=AD=a3,DC=23a,AC=a32+23a2=53a,在ABC中,由正弦定理得asinBAC=53asin45,sinBAC=31010.9.在平面四边形ABC
7、D中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.结合题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.10.(2018安徽合肥质量检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcos C=acos2B+bcos Acos B
8、.(1)求证:ABC是等腰三角形;(2)若cos A=78,且ABC的周长为5,求ABC的面积.解析(1)证明:根据正弦定理及bcos C=acos2B+bcos Acos B,可得sin Bcos C=sin Acos2B+sin Bcos Acos B=cos B(sin Acos B+sin Bcos A)=cos Bsin(A+B),即sin Bcos C=cos Bsin C,所以sin(B-C)=0,由B,C(0,),得B-C(-,),故B=C,所以ABC是等腰三角形.(2)由(1)知b=c,则cos A=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2=78,得b=2a.ABC的周长为
9、a+b+c=5a=5,得a=1,b=c=2.故ABC的面积S=12bcsin A=12221-782=154.B组提升题组1.(2019吉林四平质检)在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C的对边且A=60,若SABC=332且2sin B=3sin C,则ABC的周长等于()A.5+7B.12C.10+7D.5+27答案A在ABC中,A=60.2sin B=3sin C,故由正弦定理可得2b=3c,再由SABC=332=12bcsin A,可得bc=6,b=3,c=2.由余弦定理可得a2=32+22-23212=7,所以a=7,故ABC的周长为a+b+c=5+7,故选A.2.在ABC中,
10、三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且4S=(a+b)2-c2,则sin4+C等于()A.1B.-22C.22D.32答案CS=12absin C,cos C=a2+b2-c22ab,2S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C.又4S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,2absin C=2abcos C+2ab.ab0,sin C=cos C+1.sin2C+cos2C=1,(cos C+1)2+cos2C=1,解得cos C=-1(不合题意,舍去)或cos C=0,sin C=1,则sin4+C=22(sin C+cos C)=22.3.(
11、2018天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27
12、.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.4.(2019河南郑州质量预测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b.(1)求角C;(2)若ABC的面积S=32c,求ab的最小值.解析(1)解法一:由2ccos B=2a+b及余弦定理,得2ca2+c2-b22ac=2a+b,得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab,cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12.又0C,C=23.解法二:asinA=bsinB=csinC,由已知可得2sin Ccos B=2sin A+sin B,则有2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Bcos C+sin B=0.B为三角形的内角,sin B0,cos C=-12.C为三角形的内角,C=23.(2)S=12absin C=32c,c=12ab.又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,a2b24=a2+b2+ab3ab,即ab12,当且仅当a=b时,取等号.故ab的最小值为12.
