1、第一节数系的扩充与复数的引入A组基础题组1.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=()A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i答案C(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i,故选C.2.(2018福建福州模拟)若复数z=a1+i+1为纯虚数,则实数a=()A.-2B.-1C.1D.2答案A因为复数z=a1+i+1=a(1-i)(1+i)(1-i)+1=a2+1-a2i为纯虚数,所以a2+1=0,且-a20,解得a=-2,故选A.3.(2018广西南宁模拟)已知(1+i)z=3i(i是虚数单位),那么复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象
2、限答案Az=3i1+i=32+32i,所以复数z在复平面内对应的点为32,32,在第一象限,故选A.4.(2019石家庄质量检测)若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则共轭复数z=()A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i答案B由题意,得z=i(1-i)=1+i,所以z=1-i,故选B.5.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.1+iB.35+45iC.1+45iD.1+43i答案B因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,所以z1z2=2+i2-i=(2+i)25=35+45i,故选B.6.(2
3、019江西南昌模拟)已知复数z满足(1+i)z=2,则复数z的虚部为.答案-1解析解法一:(1+i)z=2,z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,则复数z的虚部为-1.解法二:设z=a+bi(a,bR),则(1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i=2,a-b=2,a+b=0,解得a=1,b=-1,复数z的虚部为-1.7.已知a,bR,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为.答案2解析因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,所以1+b=a,1-b=0,解得b=1,a=2,所以ab=2.8.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则z+1zz=.
4、答案6解析因为z=1+2i,所以z=1-2i.所以z+1zz=zz+1=5+1=6.9.计算:(1)(1+2i)2+3(1-i)2+i;(2)1-i(1+i)2+1+i(1-i)2;(3)1-3i(3+i)2.解析(1)(1+2i)2+3(1-i)2+i=-3+4i+3-3i2+i=i2+i=i(2-i)5=15+25i.(2)1-i(1+i)2+1+i(1-i)2=1-i2i+1+i-2i=1+i-2+-1+i2=-1.(3)1-3i(3+i)2=(3+i)(-i)(3+i)2=-i3+i=(-i)(3-i)4=-14-34i.10.已知复数z=bi(bR),z-21+i是实数,i是虚数单位
5、.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.解析(1)因为z=bi(bR),所以z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i.又因为z-21+i是实数,所以b+22=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,mR,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2在复平面内对应的点在第一象限,所以m2-40,-4m0,解得m-2,即m(-,-2).B组提升题组1.已知x1+i=1-yi,其中x,y是实数,i是
6、虚数单位,则x+yi的共轭复数为() A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案Dx1+i=12(x-xi)=1-yi,12x=1,-12x=-y,解得x=2,y=1,x+yi=2+i,其共轭复数为2-i,故选D.2.(2018安徽江南十校联考)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为()A.2-12B.2-1C.1D.2+12答案A由z(1-i)=|1-i|+i,得z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2-12+2+12i,故z的实部为2-12,故选A.3.已知复数z的共轭复数是z,且满足zz+2iz=9+2i.求z.解析设z=a+bi(a,bR),
7、则z=a-bi.因为zz+2iz=9+2i,所以(a+bi)(a-bi)+2i(a+bi)=9+2i,即a2+b2-2b+2ai=9+2i,所以a2+b2-2b=9,2a=2.由得a=1,代入,得b2-2b-8=0.解得b=-2或b=4.所以z=1-2i或z=1+4i.4.若虚数z同时满足下列两个条件:z+5z是实数;z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解析这样的虚数存在,z=-1-2i或z=-2-i.设z=a+bi(a,bR且b0),z+5z=a+bi+5a+bi=a+bi+5(a-bi)a2+b2=a+5aa2+b2+b-5ba2+b2i.z+5z是实数,b-5ba2+b2=0.又b0,a2+b2=5.又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,a+3+b=0.由得a+b+3=0,a2+b2=5,解得a=-1,b=-2或a=-2,b=-1,故存在虚数z,同时满足题设的两个条件,z=-1-2i或z=-2-i.
