1、第3课时不等式课后篇巩固提升基础巩固1.若a1b0,则下列不等式正确的是()A.a2lg1bC.1lna1lnbD.(a-b)2(a-b)3解析由a1b0,知ln a0,ln b1lnb.答案C2.若集合A=x|x2+x0,B=x1x2,则AB等于()A.B.(-1,0)12,+C.(-,0)12,+D.(-1,0)解析由已知得A=x|x2+x0=x|-1x0,B=x1x2=xx12,故AB=(-,0)12,+.答案C3.已知不等式组x+y1,x-y-1,y0表示的平面区域为M,若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是()A.0,13B.-,13C.-13,0D.-,-13解
2、析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,y=kx-3k=k(x-3)过定点D(3,0),由图象可知直线AD的斜率最小,BD的斜率最大,且kAD=1-00-3=-13,kBD=0.要使直线y=kx-3k与平面区域M有公共点,则-13k0.答案C4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在x=-1取得最小值,且一个零点为2,则不等式f(x)0的解集是()A.(-4,2)B.(-2,4)C.(-,-4)(2,+)D.(-,-2)(4,+)解析依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴的方程为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4,因此f(x)=a(
3、x+4)(x-2)(a0),于是f(x)0即为(x+4)(x-2)0,解得x2或x1,则a+a+1a-1的最小值等于()A.3B.2C.1D.22解析a+a+1a-1=a+a+1(a+1)(a-1)=a+1a-1=a-1+1a-1+1.因为a1,所以a-10,于是a-1+1a-1+12(a-1)1a-1+1=3,当且仅当a-1=1a-1,即a=4时,取最小值3.答案A6.不等式x-1x2的解集为.解析不等式可化为x-1x-20,即-x-1x0,所以x(x+1)0,x0,解得-1x1,x2+3x-1a恒成立,则a的最大值是.解析由于x1,所以x-10,于是x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1
4、)+4x-1=x-1+4x-1+22(x-1)4x-1+2=6,当且仅当x=3时,取等号.故x2+3x-1的最小值为6,因此a6,a的最大值是6.答案68.已知变量x,y满足约束条件y3x-2,x-2y+10,2x+y8,若y=kx-1,则k的取值范围为.解析作出不等式组y3x-2,x-2y+10,2x+y8表示的可行域如图阴影部分所示.由y=kx-1可得k=y+1x,则k的几何意义是可行域内的点P(x,y)与定点E(0,-1)的连线的斜率.由图可知当点P在点B处时,k取得最小值;当点P在点C处时,k取得最大值.由x-2y+1=0,2x+y=8,解得B(3,2);由y=3x-2,2x+y=8,
5、解得C(2,4).由于kBE=2-(-1)3=1,kCE=4-(-1)2=52,所以k1,52.答案1,529.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额R(单位:万元)与日产量x满足函数关系式S=3x+kx-8+5(0x6),14(x6),已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.(1)求k的值.(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大?并求出最大值.解(1)由题意可得L=2x+kx-8+2,0x6,11-x,x6.因为当x=2时,L=3,所以3=22+k2-8+2,所以k=18.(2)当0x0,b0,且a+b=2
6、.(1)求2a+8b的最小值及其取得最小值时a,b的值;(2)求证:a2+b22.(1)解因为a0,b0,且a+b=2,所以2a+8b=12(a+b)2a+8b=(a+b)1a+4b=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当a=23,b=43时,等号成立.故2a+8b的最小值为9,此时a=23,b=43.(2)证明因为a0,b0,且a+b=2,所以2(a2+b2)(a+b)2=4,故a2+b22,当且仅当a=b=1时,取等号.能力提升1.已知a,bR,若a+|b|0B.a3+b30C.a2-b20D.a+b0解析当b0时,a+b0;当b0时,a-b0,所以ab0,故a+b0.答案D2.关
7、于x的不等式x2-4ax+3a20)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最小值是()A.63B.233C.433D.263解析依题意可得x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+ax1x2=4a+a3a2=4a+13a24a13a=433,当且仅当4a=13a时,取等号.故x1+x2+ax1x2的最小值为433.答案C3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,则-x0).令3x=t0,所以t2-4t-3,解得1t3,即13x3,解得0x1.答案B4.若2m+2n22m2n,即2m+n4,所以m+n2,即m+n-20恒成立,则实数k的取值范围是.解析由于x0,所以不等
8、式可化为kx+4x+1.令g(x)=x+4x+1,则g(x)=x+1+4x+1-12(x+1)4x+1-1=3,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,g(x)取最小值3.故实数k的取值范围是k3.答案k36.已知一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为xx-1a,且ab,则a2+b2a-b的最小值为.解析由已知可得方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是=4-4ab=0,则ab=1.所以a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22,当且仅当a-b=2时,取等号.故a2+b2a-b的最小值为22.答案227.已知不等式x(ax-1)a(x-
9、1),其中aR.(1)当a=12时,解不等式;(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=12时,不等式即为x12x-112(x-1),即x2-3x+10,解得x3+52或xa(x-1)可化为ax2-(a+1)x+a0,显然当a=0时,不合题意;因此应有a0,(a+1)2-4a21.故a的取值范围是(1,+).8.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示).(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1
10、的比值为x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解(1)设休闲区的宽为a m,则其长为ax m.由a2x=4 000,得a=2010x.所以S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)2010x+160=80102x+5x+4 160(x1).(2)S(x)801022x5x+4 160=1 600+4 160=5 760,当且仅当2x=5x,即x=52时,取等号,此时a=40,ax=100.故要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m,宽40 m.
