1、高中同步测试卷(十一)单元检测导数与函数的极值与最值，生活中的优化问题举例(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的()A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3 B1，3 C1，3 D1，33设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点4.已知函数f(x)的定义域为(a，
2、b)，导函数f(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)上的极大值点的个数为()A4 B3 C2 D15函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是()Aa0 Ba0 Ca0，故a0，且f(x)ax2，函数f(x)在区间1，2上是增函数，f(x)0对x1，2恒成立，即不等式ax22x10对x1，2恒成立，即a1对x1，2恒成立，故a1，即a，实数a的最小值为，故选C.10解析：选B.由题意知，存款量g(x)kx(k0)，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0，0.048)设银行可获得收益为y，则y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx，令y0，解得x0
3、.024.依题意知，y在x0.024处取得最大值故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益11导学号68670071解析：选D.设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元12解析：选B.设长方体的宽为x(m)，则长为2x
4、(m)，高为h(4.53x)(m).故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0.故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m3)13导学号68670072解析：f(x)x，x(0，1)时，f(x)0.x1时函数有极小值答案：114解析：f(x)，又在x1处取极值，f(1)0.121a0，a3.答案：315解析：f(x)3x22axb，由题意可知，即，解得或.当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)2，易知在x
5、1的左右两侧都有f(x)0，即函数f(x)在R上是单调递增的，因此f(x)在x1处并不存在极值，故，ab44.答案：4416解析：设uk(x)2，因为售价为10元时，年销量为28万件，所以28k(10)2，解得k2，所以u2(x)22x221x18，所以年利润f(x)(x6)(2x221x18)2x333x2108x108，则f(x)6x266x1086(x2)(x9)，令f(x)0，得x2或x9，因为x6，所以x9.当6x9时，f(x)0；当x9时，f(x)0，所以x9为f(x)的极大值点，所以当x9时，年利润最大，最大年利润为f(9)135万元答案：13517解：对函数f(x)求导，得f(
6、x)，令f(x)0解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)0f(x)43所以，f(x)的递减区间是；f(x)的递增区间是.当x0，1时，f(x)的值域为4，318解：(1)f(x)3x22fx1，则f32f1，得f1，故f(x)x3x2x.令f(x)3x22x10，解得x1.故f(x)的单调增区间为，(1，)；同理可得f(x)的单调减区间为.(2)设cos x1，1，由(1)知f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故f(cos x)maxf；又f(1)f(1)1，故f(cos x)min1.19解：(1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q3)万元
7、销售收入是(32Q3)150%x50%.年利润y年收入年成本年广告费(32Q3x)(323x)(x0)，所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损(2)令f(x)y(x0)，则f(x).令f(x)0，则x22x630.x9(舍去)或x7.又x(0，7)时，f(x)0；x(7，)时，f(x)0.f(x)极大值f(7)42.又在(0，)上只有一个极值点，f(x)maxf(x)极大值f(7)42.当年广告费投入7万元时，企业年利润最大20解：(1)f(x)x2a，由f(2)0，得a4；再由f(2)，得b4.所以f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)
8、x240，得x2或x2.所以f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)(2)因为f(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，所以函数f(x)在4，3上的最大值为.要使f(x)m2m在4，3上恒成立，只需m2m，解得m2或m3.所以实数m的取值范围是(，32，)21解：设方程对应的函数为f(x)x39xa，则f(x)3x29，令f(x)0，则x，即函数f(x)有两个极值点为x1，x2.f()6a，f()6a.(1)若f()f()0，对应方程有三个解，解得6a0，对应方程有一个解，解得a6或a6；综上可知：当6a6或a6时，方程有一个解22解：以O为原点，OA所在直线为y轴，以O点到BC的垂线为x轴建立直角坐标系(图略)，设矩形落在曲线段OC上的一个顶点为P，抛物线方程为y22px(p0)把点C(4，2)代入，有y2x(0x4，0y2)令P(t2，t)(0t2)，记工业园区面积为S，则S(4t2)(t2)t32t24t8，0t2，S3t24t4(t2)(3t2)，令S0得t或t2(舍去)，当t(0，)时，S0，S是t的增函数；当t(，2)时，S0，S是t的减函数当t，即P点坐标为时，S取得最大值，且Smax9.5(km2)，此时矩形的长为(4)km，宽为(2)km.即把工业园区规划成长为 km，宽为 km的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为9.5 km2.
