1、3.6 对数与对数函数课标要求考情分析核心素养1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例, 了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数（a0且a1）.新高考3年考题题 号考 点数学抽象数学运算逻辑推理2022()卷 7指对幂大小比较 2021()卷7 指对幂大小比较 2020()卷7 已知对数型函数的单调性求参1对数的概念及其运算概念如果ax=N(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x=logaN，其中a
2、叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax=N xlogaN（a0且a1）loga1=0，logaa=1，alogaN=N（a0且a1）运算法则a0，且a1，M0，N0logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(nR)logamMn=nmlogaM(m,nR,且m0)换底公式logab=logcblogca(a0,且a1,c0,且c1,b0)重要公式logab=1logbalogablogbclogcd=logad,(a,b均大于零且不等于1)logaab=b(a0,且a1)2对数函数的图象和性质（1）
3、概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量.（2）对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数y=logax与y=log1ax的图象关于x轴对称3.反函数对数函数ylogax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1.对数函数ylogax(a0，且a1)的图像过定点(1，0)，且过点，函数图像只在第一、四象限.2.对数函数ylogax(a0，且a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0acaB. cabC. abcD. acb 考
4、点一对数的基本运算【方法储备】对数运算的一般思路1.拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并2.合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算【典例精讲】例1.(2021河北省石家庄市月考) 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等。在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算。现在有一台机器，每秒能进行2.51011次哈希运算
5、，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据lg20.3010,lg30.4771)A. 4.51073秒B. 4.51065秒C. 4.5107秒 D. 28秒【名师点睛】1.对数的运算：要保证式子中所有的对数符号有意义，即真数大于0，底数大于0且不为1；2.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用【靶向训练】 练1-1（2022湖北省武汉市模考.多选）若a，b，c都是正数，且4a=6b=9c，那么()A. ab+bc=2acB. ab+bc=acC. 2c=2a+1bD. 1c=2b-1a练1-2（202
6、2山东省青岛市模考.多选）17世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a10n(1a10,nZ)的形式，两边取常用对数，则有lgN=n+lga，现给出部分常用对数值(如表)，则下列说法中正确的有() 真数x2345678910lgx(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx(近似值)1.0411.0791.1141.14
7、61.1761.2041.2301.2551.279A. 310在区间(104,105)内B. 250是15位数C. 若2-50=a10m(1am有解，求实数m的取值范围例3.(2021浙江省绍兴市模拟) 函数f(x)=ln1+xa-x的图像不可能是()A. B. C. D. 【名师点睛】1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【靶向训练】练2-1(2022江苏省连云港市模拟.多选)已知a，b，cR，且b0，若ea=lnb=1c，则a
8、，b，c的大小关系可以是()A. abcB. bcaC. cabD. acb练2-2(2022湖南省长沙市模拟.多选)已知函数f(x)=log2(mx2+4x+8),mR,则下列说法正确的是()A. 若函数f(x)的定义域为(-,+)，则实数m的取值范围是(12,+)B. 若函数f(x)的值域为2,+)，则实数m=2C. 若函数f(x)在区间-3,+)上为增函数，则实数m的取值范围是(49,23D. 若m=0，则不等式f(x)1的解集为x|x-32 考点三利用对数函数的性质解决有关问题【方法储备】1.换元法使函数简单化，便于求解函数值域、解方程与不等式等问题.2.判断单调性，若为复合函数，则结
9、合复合函数单调性判断法则，在函数定义域限制之下讨论，可利用单调性求最值、比较大小、解不等式，已知单调性求参3.能够熟练的作出对数型函数的图象，在解决方程、零点等问题时，要利用数形结合思想，使问题直观化.4.解决恒成立问题，化归与转化是关键.角度1解简单的对数方程与不等式【典例精讲】例4.(2022重庆市联考) 已知不相等的两个正实数x，y满足x2-y=4(log2y-log4x)，则下列不等式中不可能成立的是()A. xy1B. yx1C. 1xyD. 1yx【名师点睛】1.研究函数性质，要树立定义域优先的原则，讨论函数的一切问题都在定义域上进行.2.要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分
10、底数0a1两种情形进行分类讨论，防止错解【靶向训练】练3-1（2022湖北省武汉市联考）已知二次函数fx的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数gx的图象，则不等式gxlog2x的解集是()A. -,2 B. 2,+C. 0,2 D. 0,1 练3-2（2022河北省张家口市联考）已知函数f(x)=ex,x0mx+m,x0且a1)在14a2,a2上为减函数，则实数a的取值范围是()A. 22,1B. 32,1C. 1,34D. (1,2【名师点睛】1.利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响2.解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异
11、减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题3.高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解【靶向训练】练3-3(2022广东省模考.多选）已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x)，函数y=f(x+1)为偶函数，且当x0,1时，f(x)=log2(x+a)，则下列结论正确的是()A. 函数y=f(x)是周期为4的周期函数B. f(2020)+f(2021)=1C. 当x(1,2时，f
12、(x)=log2(x+1)D. 不等式f(x)12的解集为(2-1+4k,3-2+4k),kZ练3-4(2022浙江省杭州市模考.多选）设函数fx=log121+xax-1+x为奇函数，a为常数(1)求a的值，并指出函数fx在1,+上的单调性(无需证明)；(2)若在区间2,3上存在x使得不等式log12(x+1)(12)x+log12(x-1)2x+m成立，求实数m的取值范围.核心素养系列幂、指、对的大小比较指数与对数比较大小的试题是高考中的常见题型,此类试题虽然题目简短但内涵丰富,不仅考查指数函数、对数函数、幂函数的运算、性质、图象等内容,还可以综合考查导数和不等式等知识.【方法储备】1.借
13、助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小.2.借助中间变量比较大小：函数类型、底数和真数都不一样,直接比较或利用函数性质判断有一定困难时,可以借助一个恰当的中间变量比较大小.3.借助函数的性质比较大小:指数和对数以自变量的形式出现,需要结合已知函数的单调性和奇偶性来比较大小.4. 借助函数图象与性质比较大小：涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图像与性质来确根的大小关系，进而比较大小.5
14、.借助特殊函数比较大小：根据所给指数式、对数式的特征构造恰当的函数,进而分析函数的单调性,结合函数的单调性比较大小；可以先作差、作商，根据差式和商式构造函数求最值，结合函数最值比较大小. 【典例精讲】例6. (2022安徽省蚌埠市月考) 设a=log23，b=2log32，c=2-log32，则a，b，c的大小顺序为()A. bcaB. cbaC. abcD. bac例7. (2021山东省青岛市月考) 已知2a+2a=3b+3b=clgc=t，若t(1,4)，则()A. bcaB.abcC.bacD. acbcB. acbC. bacD. bca练4-2(2021湖北省襄阳市月考) 已知实数
15、a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln(a+b)，则()A. cabB. cbaC. acbD. bc0，且a1)的定义域和值域均为t,2t，则a的值为()A. 12或4 B. 116或2 C. 14或8 D. 12或16答案解析【教材改编】1.【解析】要使函数y=log121-2x有意义，则有1-2x0log12(1-2x)0，解得0x12，故函数的定义域为0,12,故答案为0,122.【解析】a=1213，b=log132=-log32，c=log123=-log23，0a1，-1b0，cbc故选C【考点探究】例1.【解析】设这台机器破译密码所需时间大约为t秒，由题知t=22562.
16、51011，则lgt=256lg2-lg2.5-11=256lg2-1-2lg2-11=258lg2-122580.3010-12=65.658，即t1065100.658又因为0.6582lg3-lg2=lg4.5，所以100.65810lg4.5=4.5，因此t4.51065，即在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为4.51065秒.故选：B练1-1【解析】由于a，b，c都是正数，故可设4a=6b=9c=m，m0，a=log4m，b=log6m，c=log9m，则1a=logm4，1b=logm6，1c=logm9.logm4+logm9=2logm6，1a+1c=2b，即1c=2b
17、-1a，故C错误，D正确，去分母整理得，ab+bc=2ac，故A正确，B错误故选AD练1-2【解析】对于选项A：lg(310)=10lg3100.477=4.77，lg(104)=4lg10=44.77，104310105，故选项A正确，对于选项B：lg(250)=50lg2500.301=15.05，2501015.05，是16位数，故选项B错误，对于选项C：lg(2-50)=-50lg2-500.301=-15.05，2-5010-15.05=100.9510-16，m=-16，故选项C正确，对于选项D：lg(m32)=32lgm，因为m32是一个35位正整数，3432lgm35，1716
18、lgm3532，即1.0625lgm02-x0，解得-2x2函数f(x)的定义域为(-2,2)f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x)，f(x)是偶函数(2)-2x2，f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).g(x)=10f(x)+3x，函数g(x)=-x2+3x+4=-(x-32)2+254，(-2xm有解，mf(x)max，令t=4-x2，由于-2x2，0t4f(x)的最大值为lg4实数m的取值范围为m|m0可得函数的定义域为(-1,1)，f(x)=ln1+x1-x=ln(-1+21-x)，易知函数在(-1,1)上是增函数，故选项B符合题意，A错误，对于选项
19、C，当f(0)=-1时，ln1a=-1，即a=e，所以f(x)=ln1+xe-x，其定义域为(-1,e)，又1+xe-x=-1+1+ee-x，函数f(x)在(-1,e)上单调递增，即选项C正确;对于选项D，当f(-2)=0时，ln-1a+2=0，即a=-3，所以f(x)=ln1+x-3-x，其定义域为(-3,-1)，又1+x-3-x=-1+23+x，函数f(x)在(-3,-1)上单调递减，即选项D正确故选A练2-1【解析】如图，在同一坐标系中画出函数y=ex，y=lnx，y=1x(x0)的图象，当直线y=m与三者都相交时，交点的横坐标即为a，b，c的值，由图知，当m从大变到小时，依次出现cab
20、、acb、ab0对xR恒成立，由于当m=0时，不等式4x+80不恒成立，所以m0当m0时，由m0,=16-32m12，所以A正确；对于B，若函数f(x)的值域为2,+)，则f(x)min=2，显然m不为0，则函数y=mx2+4x+8的最小值为4，则当x=-2m时，ymin=m-2m2+4-2m+8=4，解得m=1，所以B错误；对于C，若函数f(x)在区间-3,+)上为增函数，则y=mx2+4x+8在-3,+)上为增函数，且在-3,+)内的函数值为正，所以m0,-2m-3,m(-3)2+4(-3)+80,解得49m23，所以C正确；对于D，若m=0，则不等式f(x)1等价于log2(4x+8)1
21、，则04x+82，解得-2x-32，所以D错误故选：AC例4.【解析】因为不相等的两个正实数x，y满足x2-y=4(log2y-log4x)，则x2+4log4x=y+4log2y，则x2+2log2x=y+4log2y令y1=x2+2log2x,y2=x+4log2x,y3=m，由复合函数的单调性法则可知y1，y2都是增函数作出y1，y2的图象：当0m1时，xy1；当1m6时，1y6时，1xlog2x的解集为0,2故选：C练3-2【解析】因为函数f(x)在R上单调递增，则有m0m0+me0，解得0m1，所以m的最大值为1，此时f(x)=ex,x0x+1,x0，令ln(f(x)1，解得0f(x
22、)e，当x0时，0x+1e，解得-1xe-1，所以-1x0，当x0时，00且a1，函数g(x)=8x-ax2的图像是开口向下的抛物线14a222，若a1，y=logat为增函数，要使复合函数f(x)=loga(8x-ax2)在14a2,a2上为减函数，则4a14a2g(a2)=8a2-a50，解得a;若22a0解得22a12=log22，解得x2-1，故得2-112=log22，解得x3-2，故得1x12在一个周期-1,3上的解集为(2-1,3-2)，所以不等式在定义域上的解集为(2-1+4k,3-2+k),kZ，故选项D正确故选：ABD练3-4【解析】 (1)函数f(x)=log121+xa
23、x-1+x为奇函数，f(-x)=-f(x)，即log121-x-ax-1-x=-log121+xax-1-x，化简为log121-x-ax-1+log121+xax-1=0，即log12(1-x-ax-1)(1+xax-1)=log121-x21-(ax)2=0，化简得a2=1，a=1或a=-1(舍去)，a=1，即f(x)=log121+xx-1+x；由于函数y=log121+xx-1=log12-1+x+2x-1=log12(1+2x-1)和y=x均在1,+上单调递增，所以f(x)在1,+上单调递增函数(2)由log12(x+1)(12)x+log12(x-1)2x+m得log121+xx-
24、1+x-(12)xm，即mf(x)-(12)x，令g(x)=f(x)-(12)x，x2,3，则由(1)知g(x)=f(x)-(12)x在2,3上递增，g(x)max=g(3)=f(3)-(12)3=log121+33-1+3-18=158，m158【素养提升】例6. 【解析】b=2log32=log34，c=2-log32=log39-log32=log392，bc，a=log23=2log43，由于log32=log381312log28=34，log322334log43，所以b32，c=log392c，即bc0时，f(x)g(x)，当x0时，f(x)g(x)，由2x+2x=3x+3x，即
25、f(a)=g(b)，且t(1,4)，又f(0)=g(0)=1，f(1)=4，g(1)=6，所以0ba0，得c0，所以lgc0，c1，所以ba0，所以bcc-a=32-2ln4=32-1ln2=3ln2-22ln2=ln8-lne22ln20，所以ca所以bca.故答案选：D练4-2【解析】令f(x)=lnx-x+1，则f(x)=1x-1=1-xx，当0x0，当x1时，f(x)0，a0，b-a0，b2a2，ac=b2，aca2，ca，ca0，求得x2，故函数的定义域为x|x2，f(x)=lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(2,+)，故选D例9.【解答】依题意，t0，当a1时，由函数y=f(x)=logax的定义域和值域都为t,2t，得f(2t)=loga2t=2tf(t)=logat=t,即loga2t=2logat，得2t=t2，解得t=2，或t=0(舍掉)，此时loga2=2，即a2=2，得a=2当0a1时，由条件可得f(2t)=loga2t=tf(t)=logat=2t,即2loga2t=logat，得4t2=t，解得t=14或t=0(舍掉)，此时loga14=12，即a12=14，得a=116综上可得，a=2或116故选B
