1、10.5 圆与圆的位置关系课标要求考情分析核心素养1.掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相关问题的过程.2.了解几何法和代数法在处理圆与圆的位置关系的有关问题时的优劣3.会求圆与圆相交时公共弦所在的直线方程和公共弦长.新高考3年考题题 号考 点直观想象数学运算逻辑推理2022()卷14圆的公共弦,公切线1.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r (Rr)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rd0且k1)的点的轨迹为圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x-2)2+
2、y2=r2(r0)上有且只有一个点P满足|PA|=2|PO|.则r的取值可以是()A. 1B. 2C. 3D. 4【名师点睛】本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切外切两种情况. 【靶向训练】 练1-1(2022安徽省模拟)设a0,若圆M：x2-6x+y2-2y+9=0与圆N：x2-2ax+y2+2y+1=0相交，则实数a的取值范围为()A. (32,3)B. (3,+)C. (
3、0,32)D. (0,3)练1-2(2021河北省邢台市联考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离考点二圆与圆的公共弦、公切线问题【方法储备】1.若两圆相交，则公共弦长AB有两种求解方法：几何法：利用两圆方程求出公共弦所在的直线方程，再利用勾股定理求出公共弦长, 即 AB=2r2-d2.其中弦心距d可由点(圆心)到直线(公共弦所在的直线)的距离公式求得.代数法：将两圆方程联立，解出两交点坐标，再利用两点间距离公式求出公共弦长.方程组解的个数两圆交点个数;
4、方程组的解两圆交点的坐标.角度1 圆与圆的公共弦问题【典例精讲】例2.(2022广东省模拟)已知点(4a,2b)(a0,b0)在圆C：x2+y2=4和圆M：(x-2)2+(y-2)2=4的公共弦上，则1a+2b的最小值为()A. 8B. 4C. 2D. 1【名师点睛】若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2得到,然后将点(4a,2b)(a0,b0)，代入解得2a+b=1，再利用基本不等式求最值 【靶向训练】练2-1(2022天津市专项测试)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+(a-1)y=0(a0)的公共弦长为23，则a=_练2-2(2021北京市期中)已知两圆C1
5、：x2+y2-2x-6y-1=0，C2：x2+y2-10x-12y+45=0(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长角度2 公切线问题例3.(2022新高考1卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程【名师点睛】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识方法1:设直线方程为x+by+c=0，利用点到直线的距离公式可求出b与c的关系，然后再进行后面的求解方法2:求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得【靶向训练】练2-3(2022山东省部分学校联考) 圆x2+(y-2)2
6、=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线，则m的取值范围是()A. (-,-5 B. 5,+) C. -5,5 D. (-,-55,+)练2-4(2022河北省衡水市期末)若两圆x2+y2+2mx+m-4=0(m0)和x2+y2-4ny-1+4n=0(n0)恰有三条公切线，则1m+1n的最小值为()A. 19B. 49C. 1D. 3核心素养系列 直观想象、逻辑推理与圆有关的最值（范围）问题与圆有关的最值问题是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题
7、转化【方法储备】1.借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解.(1)求形如k=y-bx-a的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点(a,b)和(x,y)的直线斜率的最值问题.(2)若(x,y)为圆上任意一点,求形如u=ax+by的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法是:数形结合法,当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值;把u=ax+by代入圆的方程中,消去y得到关于x的一元二次方程,由0求得u的范围,进而求得最值.(3)若(x,y)为圆上任意一点,求形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到
8、定点的距离的最值,即把 (x-a)2+(y-b)2看作点(a,b)到圆上的点(x,y)的距离的平方,利用数形结合法求解.2.利用对称求最值求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题(其中M,N均为动点)的基本思路: “动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离; “曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.3.建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值。角度1借助几何性质求最值例4.(2022江苏省盐城市联考)已知直线l：y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A，
9、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x-4y-6=0的距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【名师点睛】本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，点到直线的距离公式画出图形，利用待定系数法求出M的轨迹，结合点到直线的距离公式得答案【靶向训练】练3-1(2022山东省泰安市期中)设点P(x,y)是曲线y=-4-(x-1)2上的任意一点，则y-2x-4的取值范围是()A. 0,125B. 25,125C. 0,2D. 25,2练3-2(2022云南省普洱市期末)已知实数x，y满足方程x2+y2-6y+5=0，则3x+y的最大值和最小值分别为和角度2 利用对称求最值例5.(2022江苏省模
10、拟)已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为【名师点睛】本题考查了与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标C3，然后求解圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【靶向训练】练3-3(2021河北省模拟)已知P，Q分别为圆M：(x-6)2+(y-3)2=4与圆N：(x+4)2+(y-2)2=1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为()A. 55-3B. 101
11、-3C. 75-3D. 53-3练3-4(2022浙江省温州市模拟)已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-2)2=14上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()A. 4B. 92C. 112D. 7角度3 建立函数关系式求最值例6.(2022四川省成都市期末) 已知圆C：(x-2)2+(y-5)2=4的圆心为C，T为直线x-2y-2=0上的动点，过点T作圆C的切线，切点为M，则TMTC的最小值为【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积、二次函数的最值，画出图形帮助分析是解题的关键根据TM为圆C的切线可得TMTC=T
12、M2，设Tm,n，根据T为直线x-2y-2=0上的动点，可得T(2n+2,n)，利用勾股定理得|TM|2=|TC|2-|MC|2，把T、C的坐标代入化简，得关于n的二次函数，求出最小值【靶向训练】练4-5(2022浙江省专项测试)已知P是圆C：x2+y2-2x+4y-1=0外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则PAPB的最小值为练4-6(2022湖北省武汉市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C:(x-a)2+(y-2)2=4上两个动点，且AB=23.若直线l:y=-x上存在点P，使得PA+PB=OC,则实数a的取值范围为易错点1忽视分两圆内切与外切两种情形例7.(202
13、2山东省青岛市模拟)若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为易错点2对称问题理解不清致误例8.(2022福建省联考)若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r0)上存在点P，且点P关于直线y=x的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上，则r的取值范围是()A. 2-1,2+1B. (2-1,2C. -1,2D. (-1,1答案解析【教材改编】1.【解析】根据题意，O：x2+y2=1，其圆心为(0,0)，半径r=1，C：x2+y2-2x-4y+1=0，即(x-1)2+(y-2)2=4，其圆心为(1,2)，半径R=2，圆心距|OC|=1+4=5，则有R-r=1|
14、OC|R+r=3，则两圆相交，故选：A2.【解析】 (1)设A(x0,y0)，点H(x,y)，则x=x0+42y=y0+22，x0=2x-4y0=2y-2，代入圆C：(x+2)2+y2=16，可得圆H：(x-1)2+(y-1)2=4(2)两个圆的圆心坐标分别为：(-2,0)，H：(1,1)，半径分别为4和2，圆心距d=(1+2)2+(1+0)2=104-2=2d0)上有且仅有一点P满足|PA|=2|PO|，所以两圆相切，圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0)，半径为2，圆C：(x-2)2+y2=r2(r0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2=3，
15、得r=1，当两圆内切时，|r-2|=3，得r=5故选A练1-1.【解析】因为圆M：x2-6x+y2-2y+9=0的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=1，圆N：x2-2ax+y2+2y+1=0的标准方程为(x-a)2+(y+1)2=a2，所以|a-1|MN|a+1，即|a-1|(a-3)2+221+a，解得32a0)，则圆心为(0,a)，半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=a2，圆M：x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，2R2-d2=2a2-a22=2a22=22，即a22=2，即a2=4，a=2，则圆心为M(0,2)，半径R=2，圆N：(x-1)2+(
16、y-1)2=1的圆心为N(1,1)，半径r=1，则|MN|=12+12=2，R+r=3，R-r=1，R-r|MN|0,b0)，所以1a+2b=1a+2b2a+b=4+ba+4ab4+2ba4ab=4+4=8.当且仅当ba=4ab，即b=2a=12时取等号，1a+2b的最小值为8故选A练2-1.【解析】x2+y2=4， x2+y2+(a-1)y=0，两式相减得：(a-1)y=-4，此即为公共弦的方程圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2两个圆的公共弦长为23，圆心(0,0)到直线(a-1)y=-4的距离为：22-(3)2=1y=4|a-1|=1，a0，a=5故答案为：5练2-2.【解析】
17、 (1)圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0的圆心C1(1,3)，半径r1=124+36+4=11，C2：x2+y2-10x-12y+45=0的圆心C2(5,6)，半径r2=12100+144-180=4，|C1C2|=(5-1)2+(6-3)2=5，4-11|C1C2|=56时，等号成立，故PAPB的最小值为122-18故答案为122-18 练4-6.【解析】取AB的中点M，连接CM，CM2=AC2-AM2=4-AB22=1，点M的轨迹是以C(a,2)为圆心，CM=1为半径的圆，即x-a2+y-22=1，M为AB的中点，PA+PB=2PM=OC，设点Mx,y,Pt,-t，PM=x-t,y+
18、t,OC=a,2，2PM=OC，2x-t=a2y+t=2，即x=t+a2y=1-t,Mx,y在圆x-a2+y-22=1上，t+a2-a2+1-t-22=1，整理得2t2+2-at+a24=0，存在点P，=2-a2-2a20，a2+4a-40，-2-22a-2+22故答案为-2-22,-2+22【易错点归纳】例7.【解析】由题可得：36+64+4m0，即m-25故圆x2+y2-6x-8y-m=0的圆心为(3,4)，半径r=25+m，若两圆外切，则25+m+1=5，解得m=-9，若两圆内切，则25+m-1=5，解得m=11故答案为：-9或11例8.【解析】圆C1：x2+(y-1)2=r2(r0)的圆心为0,1，半径为r，其关于y=x的对称圆C3方程为：x-12+y2=r2，根据题意，圆C3与圆C2有交点，即可以是外切，也可以是相交，也可以是内切又两圆圆心距d=2-12+1-02=2，要满足题意，只需r-12r+1，解得：r2-1,2+1故选A
