1、基础达标检测一、选择题1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|答案D解析本题考查了函数的性质因为yx|x|，是奇函数且在(，)上是增函数，故选D.解答本题可用排除法，选项A不具备奇偶性，选项B在(，)上是减函数，选项C在(，)上不具备单调性2下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)A1 B2C3 D4答案A解析错误，如函数f(x)是偶函数，但其图像与y轴没有交点；错误，因为奇函数的定义域可能不包含x0；正确；错误
2、，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)0，x(a，a)3(2013山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2 B0C1 D2答案A解析本题考查了函数的奇偶性与函数值的概念因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(12)2，故选A.4设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图像可能是()答案B解析本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性yf(x)为偶函数，周期T2.5已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0答案D
3、解析x10，|x1|x2|，0x1x2，又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.选D.6下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()Aycos2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析本题考查函数奇偶性，单调性，采用排除法y是奇函数，yx31是非奇非偶函数，而ycos2x在(1,2)上是先减后增的，选B.二、填空题7(文)若f(x)a是奇函数，则a_.答案解析考查函数的奇偶性f(x)为奇函数，f(1)f(1)，即aa，a.(理)若函数f(x)在定义域上
4、为奇函数，则实数k_.答案1解析解法1若定义域中包含0，则f(0)0，解得k1；若定义域中不包含0，则k1，验证得此时f(x)也是奇函数解法2由f(x)f(x)0恒成立，解得k1.点评解此题时，容易受习惯影响漏掉k1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因8(2013全国大纲)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.答案1解析本题考查函数的周期性，转化与化归思想f(1)f(12)f(1)121.9已知函数f(x)满足f(x1)，若f(1)2 015，则f(103)_.答案解析f(x1)
5、，f(x2).f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为4.f(1)2 015.f(103)f(2543)f(3).三、解答题10(文)已知函数f(x)(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值解析由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，c0.又f(1)2，得a12b，而f(2)3，得3，解得1a0)的最值分析利用f(x)f(x)求a，b的值解析(1)f(x)f(x)0恒成立，即0恒成立，则2(ab)x22a0对任意的实数x恒成立ab0.(2)f(x)(xR)是奇函数，只需研究(0，)上f(x)的单调区间即可任取x1，x2(0，)，且x10，x10，x2x10，而x1
6、，x20,1时，x1x210，当x1，x20,1时，f(x1)f(x2)0，函数yf(x)是减少的又f(x)是奇函数，f(x)在1,0上是增加的，在(，1上是减少的又x0,1，u1,0时，恒有f(x)f(u)，等号只在xu0时取到，故f(x)在1,1上是增加的(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在1，)上递减，则f(x)在x1处可取得最大值 .f(1)，函数的最大值为，无最小值点评(1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值.能力强化训练一、选择题1(文)(2013湖北高
7、考)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数答案D解析本题考查的是分段函数f(x)xx，x表示不超过x的最大整数，f(x)如图：由图可知f(x)为周期函数，故选D.(理)(2013天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增，若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 B(0，C，2 D(0,2答案C解析因为logalog2a，所以f(log2a)f(loga)f(log2a)f(log2a)2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)2f(1)，即f(lo
8、g2a)f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上递增，所以|log2a|1，即1log2a1，解得a2，故选C.2(文)函数f(x)的图像()A关于原点对称B关于直线yx对称C关于x轴对称 D关于y轴对称答案D解析f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称(理)已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0 B小于0C等于0 D以上都有可能答案A解析由x1x20，得x1x2.又f(x)为减函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为R上的奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f
9、(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.二、填空题3(文)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.答案4解析本题考查二次函数、偶函数概念由f(x)x2(a4)x4a为偶函数知其对称轴x0，即a4.(理)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f()_.答案解析f()f(2)f()f()，利用周期和奇偶性把所求函数函数值转化到已知的解析式下是解决此类问题的通法4(文)函数f(x)在1,1上是奇函数，则f(x)的解析式为_答案f(x)解析f(x)f(x)，f(0)0，即a0，即f(x)，又f(1)
10、f(1)，解得b0，则f(x).由于f(x)f(x)，f(x)为奇函数，符合题意(理)已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)x，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值是_分析该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力答案1解析因为函数f(x)x在(0,2)上为减函数，在2，)上为增函数，则当x1,3时，4f(x)5.又函数yf(x)为偶函数，故当x3，1时，4f(x)5，则mn的最小值是1.三、解答题5设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(
11、1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：0时，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解析(1)函数定义域为R，在f(xy)f(x)f(y)中令yx得，f(0)f(x)f(x)令x0，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明：函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明：函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，n(m，nN)上的值域解析(1)设任意x1，x2R，且x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，故f(x)是R上的减函数(2)f(ab)f(a)f(b)恒成立，可令abx，则有f(x)f(x)f(0)又令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意的xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)故yf(x)是奇函数(3)由于yf(x)是R上的单调递减函数，yf(x)在m，n上也是减少的，故f(x)在m，n上的最大值f(x)maxf(m)，最小值f(x)minf(n)由于f(n)f1(n1)f(1)f(n1)nf(1)，同理f(m)mf(1)又f(3)3f(1)3，f(1)1.f(m)m，f(n)n.因此函数yf(x)在m，n上的值域为n，m
