1、湖北省部分重点中学2017-2018学年度下学期高一期中考试文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若数列的通项公式是，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以选B.2. 若 ,，则有（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】，故，故综上选D3. 若关于的不等式的解集是,则关于的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集是,所以，因此关于的不等式为，解集为，选D.4. 已知中， ，则其内切圆半径与外接圆半径分别等于().A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以直角三角形，其内切圆半
2、径为，外接圆半径为选A.5. 己知数列为等比数列，每项均为正数，且，则（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B，即，又，选B6. 在，内角，的对边，满足，那么这个三角形一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】因为，所以,即这个三角形一定是等腰三角形，选A.7. 若实数满足不等式组，则的最小值为( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】作可行域，如图，则直线过点A（-1，2）时取最小值0，选A. 8. 已知船在灯塔北偏东且到的距离为， 船在灯塔西偏北且到的距离为，则两船的距离为（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】A【解析】画出图形如图所示，由题意可得，又。在在中，由余弦定理可得，所以，即则两船的距离为。选D。9. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时，不等式恒成立；当时，需；综上，实数的取值范围是，选B.点睛：二次函数的图象，主要有以下三个要点（1）开口（2）对称轴（3）特殊点（如与坐标轴的交点，顶点等）从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也可以从图象中得到如上信息10. 在等差数列中，且，为数列的前n项和，则使的的最大值为（ ）.A. 31 B. 32 C. 33 D. 34【答案】B【解析】所以使的的最大值为32，选
4、B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.11. 在数列中， ， ，则的值为（ ）.A. B. 5 C. D. 【答案】B【解析】 在数列中， 所以， 所以是以为周期的周期数列，因为，故选B12. 已知正项等比数列（）满足，若存在
5、两项， 使得，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以；因为，所以因此依次代入得当时，取最小值，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 等差数列的前n项和为，若，则_【答案】18【解析】由等差数列性质得：.14. 在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积为_【答案】4
6、【解析】不等式组表示一个等腰直角三角形ABC及其内部，其中，所以面积为15. 我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为_【答案】【解析】等比数列中,求因为16. 在中，内角，的对边，满足，则的最小值为_【答案】【解析】,当且仅当时取等号，即的最小值为.点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系
7、，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，内角，的对边，成公差为2的等差数列， .（1）求；（2）求边上的高的长；【答案】（1）3；（2）【解析】试题分析：.试题解析：(1)由题意得，在ABC中由余弦定理得，整理得，解得或(舍去)，(2)由(1)知，由三角形的面积公式得：， ，即边上的高18. 已知函数.（1
8、）若，求不等式的解集；（2）若时， 恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）先解二次方程，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离，转化为对应函数最值，再根据基本不等式求最值，即得的取值范围.试题解析：（1）若即所以原不等式的解集为或（2）即在时恒成立，令，等价于在时恒成立，又，当且仅当即等号成立，所以.故所求的取值范围是.19. 在中，内角，的对边，满足（1）求的大小；（2）若， ，C角最小，求的面积S.【答案】（1）；（2）8【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边化为角，再根据诱导公式得cos A，解得的大小；（2）先根据余弦定理得c，再根
9、据三角形面积公式求面积.试题解析：(1)由正弦定理，得 所以sin Bcos Acos Csin Asin Ccos A，即sin Bcos Asin(AC)sinB.因为B(0，)，所以sin B0.所以cos A.因为A(0，)，所以A.(2)由余弦定理及a10，b8，得102(8)2c228c.解之得c14（舍）或c2.所以Sbcsin A8.20. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划. 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研
10、知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用给定的公式“利润=销售额-成本”计算利润，因为成本函数是分段函数，故需要分类计算得到利润函数为.（2）当时，这是二次函数，其最大值为；当时，最大值为，因此年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.解析：（1）当时， ；当时， ；.（2）当时，当时，；当时， ，当且仅当，即时，；当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且
11、最大利润为万元.21. 设数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使得成立的最小正整数.【答案】（1）；（2）9【解析】试题分析：（1）将点代入函数不等式，得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先裂项：，再利用裂项相消法求，解分式不等式得n范围，即得其最小正整数.试题解析：（1）点在函数y = 3x2的图象上，a1= s1 =1当 （2） 因此，使得成立的最小整数n为922. 已知数列的前项和满足 .（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，（I）求数列的前项和；（II）求的最小值.【答案】（1）；（2）（I）；（II）【解析】试题分
12、析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果，（2）（I）根据错位相减法求数列的前项和；（II）先化简，再根据数列单调性确定其最小值取法.试题解析：（1）由题知得,当时, 所以,得,即,是以为首项,2为公比的等比数列,则.（2）（I），Tn=1+221+322+(n-1) 2n-2+n2n-1，2Tn= 2+222+323+ +(n-1)2n-1+n2n，由得Tn=1+2+22+23+24+2n-1-n2n（II）当且仅当 时即时取等号，又因为，不合题意，当时，当时，所以当 取到最小值点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
