1、第四节二次函数的再研究与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减奇偶性当b0时为偶函数对称性函数的图像关于直线
2、x对称2幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，) 增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1与二次函数有关的恒成立问题设f(x)ax2bxc(a0)，则(1)f(x)0恒成立的充要条件是；(2)f(x)0恒成立的充要条件是；(3)f(x)0(a0)在区间m，n恒成立的充要条件是；(4)f(x)0(a0)在区间m，n恒成立的充要条件是.2幂函数yx(R)的图像特征(
3、1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点(3)当0时，yx在0，)上为增加的；当0时，yx在(0，)上为减少的基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增加的()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数
4、f(x)x的图像过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()ABCD9D由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()ABCDC由题意知即得a.4(教材改编)如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabcCbcaDacbD由图像知的指数大于零且bc，的指数小于零，因此bca，故选D.5若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4f(x)x2(a4)x4a，由f(x)是偶函数知a40，所以a4.幂函数的图像与性质1幂函数yf(x)的图像过点(8,2)，则幂函数yf
5、(x)的图像是()ABCDC令f(x)x，由f(8)2得82，即232，解得，所以f(x)x，故选C2若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDbacDa，b，c，由得bac，故选D.3(2019兰州模拟)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()AB1CD2C由幂函数的定义知k1.又f ，所以，解得，从而k.4若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增加的，所以解得1a.规律方法幂函数的性质与图像特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)判断幂函数yx(R)的奇
6、偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上是增加的，则0，若在(0，)上是减少的，则0.求二次函数的解析式【例1】(1)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则f(x)_.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.(1)4x24x7(2)x22x(1)法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.
7、yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.(2)设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.规律方法求二次函数解析式的方法 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.(1)x22x1(2)2x24(1)由题意知解得从而f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，所以a，即b2或a0，当a0时，则f(x)b
8、x2，值域为(，0或0，), 不满足已知值域(，4，a0舍去，所以f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，所以2a24，故f(x)2x24.二次函数的图像与性质考法1二次函数的图像【例2】已知abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()DA项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故B错C项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故C错D项，因为a0，0，所以b0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故选D.考法2二次函数的单调性【例3
9、】函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是_3,0当a0时，f(x)3x1在1，上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0拓展探究若函数f(x)ax2(a3)x1的减区间是1，)，则a为何值？解因为函数f(x)ax2(a3)x1的减区间为1，)，所以解得a3.考法3二次函数的最值【例4】已知函数f(x)ax22x(0x1)，求函数f(x)的最小值解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，所以f(x)minf(1)2.(2)当a0时，f(x)ax22x的图像开口向上且对称轴为x.当01，即
10、a1时，f(x)ax22x的对称轴在(0,1内，所以f(x)在上是减少的，在上是增加的所以f(x)minf .当1，即0a1时，f(x)ax22x的对称轴在0,1的右侧，所以f(x)在0,1上是减少的所以f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图像开口向下且对称轴x0，在y轴的左侧，所以f(x)ax22x在0,1上是减少的，所以f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min拓展探究若将本例中的函数改为f(x)x22ax，其他不变，应如何求解？解因为f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为xa.当a0时，f(x)在0,1上是增加的，所以f(x)minf(0)0.当
11、0a1时，f(x)minf(a)a2.当a1时，f(x)在0,1上是减少的，所以f(x)minf(1)12a.综上所述，f(x)min规律方法二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：对称轴和区间都是给定的；对称轴动，区间固定；对称轴定，区间变动解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解对于、，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论 (1)一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图像大致是()ABCD(2)若二次函数ykx24x2在区间1,2上是增加的，则
12、实数k的取值范围为()A2，)B(2，)C(，0)D(，2)(1)C(2)A(1)若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图像开口向上，故可排除A；若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C(2)二次函数ykx24x2的对称轴为x，当k0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，该函数ykx24x2在区间1,2上是减少的，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)(3
13、)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解因为函数f(x)x22x(x1)21，所以对称轴为直线x1，因为x1不一定在区间2，a内，所以应进行讨论，当2a1时，函数在2，a上是减少的，则当xa时，f(x)取得最小值，即f(x)mina22a；当a1时，函数在2,1上是减少的，在1，a上是增加的，则当x1时，f(x)取得最小值，即f(x)min1.综上，当2a1时，f(x)mina22a，当a1时，f(x)min1.与二次函数有关的恒成立问题考法1形如f(x)0(xR)求参数的范围【例5】(2019张掖模拟)不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围
14、是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2考法2形如f(x)0(xa，b)求参数的范围【例6】设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增加的，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减少的，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m0恒成立，即g(k
15、)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x1或x3，所以x的取值范围为(，1)(3，)规律方法形如f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解思路(1)xR的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图像，利用判别式来求解(2)xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围分离参数，变为ag(x)或ag(x)恒成立问题，然后再求g(x)的最值(3)已知参数ka，b的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁
16、当主元，求谁的范围，谁就是参数 (1)当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_(1)(，5(2)(1)设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，f(x)0恒成立m5.(2)2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.1(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()AbacBabcCbcaDcabA利用幂函数的性质比较大小a24，b3，c255.yx在第一象限内为增函数，又543，cab.2(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_(，8当x1时，x10，ex1e012，当x1时满足f(x)2.当x1时，x2，x238，1x8.综上可知x(，8
