1、1.2数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列n2-4n+3的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:an=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列an的通项公式是an=2n3n+1,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:an+1-an=2(n+1)3(n+1)+1-2n3n+1=23(n+1)+1(3n+1)0,an+1an,数列an是递增数列.答案:A3.若数列an的通项公式an=3n-53n-14,则在数列an的前20项中,最大项和最小项分别是
2、()A.a1,a20B.a20,a1C.a5,a4D.a4,a5解析:由于an=3n-53n-14=3n-14+93n-14=1+3n-143,因此当1n4时,an是递减的,且a10a2a3a4;当5n20时,an0,且an也是递减的,即a5a6a200,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知an的通项公式an=n2+3kn,且an是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k-1B.k-23C.k-23D.k-1解析:因为an是递增数列,所以an+1an对nN+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)n2+3kn,整理得k-2n+13,当n=1时,-2n+13取最大值-1,故k-1.答案
3、:D5.给定函数y=f(x)的图像,对任意an(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列an满足an+1an(nN+),则该函数的图像是()解析:由an+1an可知数列an为递增数列,又由an+1=f(an)an可知,当x(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列an的通项公式是an=anbn+1,其中a,b均为正常数,则an+1与an的大小关系是.解析:an+1-an=a(n+1)b(n+1)+1-anbn+1=ab(n+1)+1(bn+1)0,an+1-an0,故an+1an.答案:an+1an7.已知数列an的通项公式为an=2n2-5n+2,则数列
4、an的最小值是.解析:an=2n2-5n+2=2n-542-98,当n=1时,an最小,最小为a1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列an满足an+1=2an0an12,2an-112an1,若a1=67,则a 2 017=.解析:a1=67,a2=2a1-1=57,a3=2a2-1=37,a4=2a3=67,所以an是周期为3的周期数列,于是a2 017=a6723+1=a1=67.答案:679.已知数列an的通项公式为an=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.解(
5、1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+200,得1n-2;(2)数列an是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知an=1-2nn+1=3-2(n+1)n+1=3n+1-2.nN+,3n+10,an=3n+1-2-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,an=3n+1-2.an+1-an=3(n+1)+1-3n+1=3n+3-3n-6(n+1)(n+2)=-3(n+1)(n+2)0,即an+1f(n),f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x7.数列an满足an=f(
6、n),nN+,且数列an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.94,3D.(1,2)答案:B3.导学号33194003若数列an的通项公式为an=7342n-2-334n-1,则数列an的()A.最大项为a5,最小项为a6B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=34n-1,nN+,则t(0,1,且342n-2=34n-12=t2.从而an=7t2-3t=7t-3142-928.又函数f(t)=7t2-3t在0,314上是减少的,在314,1上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.
7、若数列an的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:该数列有无限多个正数项;该数列有无限多个负数项;该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n0,得0n12n+2.所以an+1-an0.所以数列an是递增数列.(2)证明由(1)知数列an是递增数列,所以数列的最小项为a1=12,所以ana1=12,即an12对一切正整数恒成立.7.导学号33194004已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nN+)时,an0.令n2-n-300,解得-5n6.又nN+,0n6,当0n6(nN+)时,an0.(3)由an=n2-n-30=n-122-3014(nN+),知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a9,故Sn存在最小值S5=S6,Sn不存在最大值.
