1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.在ABC中,若A=60,BC=43,AC=42,则角B的大小为()A.30B.45C.135D.45或135解析由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,则sin B=ACsinABC=42sin6043=22.因为BCAC,所以AB,而A=60,所以B=45.答案B2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120,则ABC的面积为()A.33B.233C.3D.23解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故SABC=12ab
2、sin C=3.答案C3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C的距离是50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点间的距离为()A.502 mB.503 mC.252 mD.2522 m解析在ABC中,ABC=180-45-105=30.由正弦定理,得ABsinACB=ACsinABC,即ABsin45=50sin30,解得AB=502 m.答案A4.在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析cos2B2=a+c2c,
3、cosB+12=a+c2c,cos B=ac,a2+c2-b22ac=ac,a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,ABC为直角三角形.故选B.答案B5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,则角A=()A.23B.3C.6D.56解析a=1,3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,3sin Acos C+3sin Ccos A=-bcos A,3sin(A+C)=3sin B=-bcos A,3asin B=-bcos A,由正弦定理可得3sin Asin B=-sin Bcos A,s
4、in B0,3sin A=-cos A,即tan A=-33.A(0,),A=56.故选D.答案D6.某海轮以30 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60方向,向北航行40 min后到达点B,测得油井P在南偏东30方向,海轮改为北偏东60的航向再行驶80 min到达点C,则P,C间的距离为()A.20 n mileB.207 n mileC.30 n mileD.307 n mile解析如图,在ABP中,AB=304060=20(n mile),APB=30,BAP=120.根据正弦定理,得ABsinAPB=BPsinBAP,即2012=BP32,解得BP=203(n
5、mile).在BPC中,BC=308060=40(n mile),由已知得PBC=90,所以PC=PB2+BC2=(203)2+402=207(n mile),即P,C间的距离为207 n mile.答案B7.在ABC中,B=4,边BC上的高等于13BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010解析设ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,由题意,得13a=csin4=22c,则a=322c.在ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac=92c2+c2-3c2=52c2,则b=102c.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=52c2+c2
6、-92c22102cc=-1010,故选C.答案C8.已知ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为()A.43B.5C.52D.62解析SABC=12acsin B,c=42.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=25,则b=5.由正弦定理,得2R=bsinB=52(R为ABC外接圆的半径).答案C9.如图,在ABC中,B=45,D是边BC上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.615B.5C.562D.56解析在ADC中,由余弦定理,得cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=25+9-49253=-12,所
7、以ADC=120,所以ADB=60.在ABD中,由正弦定理,得AB=ADsinADBsinB=53222=562.答案C10.在ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=2c2.如果c=2,那么ABC的面积等于()A.tan AB.tan BC.tan CD.以上都不对解析由已知,得a2+b2=8.由余弦定理,得cos C=a2+b2-42ab=42ab=2ab,所以ABC的面积S=12absin C=122cosCsin C=tan C.答案C11.在ABC中,A=3,b=2,其面积为23,则sinA+sinBa+b等于()A.14B.13C.36D.3+18解析由
8、题意可得SABC=12bcsin A=122c32=23,解得c=4.根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=4+16-22412=12,所以a=23.根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,则sinA+sinBa+b=sinA+sinB2R(sinA+sinB)=12R=sinAa=3223=14.故选A.答案A12.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=7,C=3,则ABC的面积是()A.334B.736C.213D.334或736解析sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin
9、A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos A=0时,A=2,B=6.又c=7,所以b=213.由三角形的面积公式,得S=12bc=736;当cos A0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=a2+9a2-76a2=cos3=12,解得a=1,b=3,所以此时ABC的面积为S=12absin C=334.
10、综上可得ABC的面积为736或334,故选D.答案D二、填空题(每小题5分,共20分)13.在ABC中,sinB2=33,AB=1,BC=3,则AC=.解析sinB2=33,AB=1,BC=3,cos B=1-2sin2B2=1-2332=13,由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+9-21313=22.答案2214.如图,在ABC中,BDsin B=CDsin C,BD=2DC=22,AD=2,则ABC的面积为()解析过点D分别作AB和AC的垂线,垂足分别为E,F.由BDsin B=CDsin C,可得DE=DF,则AD为BAC的平分线,ABAC=BDDC=2.又cos
11、ADB+cosADC=0,即8+4-AB22222=-2+4-AC2222,解得AC=2,在ABC中,cosBAC=42+22-(32)2242=18,sinBAC=378,SABC=12ABACsinBAC=372.答案37215.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.解析因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=.由余弦定理,得AC2=52+32-253cos D=34-30cos D,AC2=52+82-2
12、58cos B=89-80cos B.由于B+D=,即cos B=-cos D,因此-34-AC230=89-AC280,解得AC=7.答案716.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3,a=3,则b2+c2的取值范围是.解析由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2,得b=2sin B,c=2sin C,则b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos 2B+1-cos 2C)=4-2cos 2B-2cos 2C=4-2cos(B+C)+(B-C)-2cos(B+C)-(B-C)=4-4cos(B+C)cos(B-C)=4+4cos Acos2B-23=4
13、+2cos2B-23.又0B23,则-232B-2323,即-12cos2B-232,所以30,cosACB=55.在ABC中,BC=1,AB=2,cosACB=55,由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BCACcosACB,可得AC2-255AC-3=0,解得AC=5或AC=-355(舍去),AC的长为5.(2)cosBCD=-35,sinBCD=1-cos2BCD=45.又CBD=45,sinCDB=sin(180-BCD-45)=sin(BCD+45)=22(sinBCD+cosBCD)=210,在BCD中,由正弦定理BCsinCDB=CDsinCBD,可得CD=BCsinCBDsinC
14、DB=5,即CD的长为5.20.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2=ac,且cos B=34.(1)求1tanA+1tanC的值;(2)设BABC=32,求a+c的值.解(1)由cos B=34,得sin B=1-342=74.由b2=ac及正弦定理,得sin2B=sin Asin C.于是1tanA+1tanC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sin2B=sinBsin2B=1sinB=477.(2)由BABC=32,得accos B=32.由cos B=34,得ac=2,即b
15、2=2.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=b2+2accos B=5,(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,a+c=3.21.(本小题满分12分)在海港A正东39 n mile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15 n mile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6 n mile/h的速度向北偏西30的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60方向,问此时甲、丙两船相距多远?解设在行驶t h后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,由题意,得CD2=CB2+BD2-2CBB
16、Dcos 60=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1 404t+1 521=351(t-2)2+117,所以当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,过点D作DFAB,则BDF=30,DBE=120,所以BDE=30,DEB=180-120-30=30,故BDE为等腰三角形.所以BE=BD=6t=62=12(n mile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-152=21(n mile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21 n mile.22.(本小题满分12分)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边,且
17、acos C+12c=b.(1)求A;(2)如a=1,ABC的周长L的取值范围.解(1)acos C+12c=b变形得2acos C+c=2b,利用正弦定理得2sin Acos C+sin C=2sin B=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,sin C=2cos Asin C,即sin C(2cos A-1)=0,由sin C0,得到cos A=12.又A为三角形的内角,则A=60.(2)a=1,sin A=32,B+C=120,即C=120-B,asinA=bsinB=csinC=132=233,即b=233sin B,c=233sin(120-B),则ABC的周长L=a+b+c=1+233sin B+233sin(120-B)=1+23332sinB+32cosB=1+232sinB+12cosB=1+2sin(B+30).0B120,30B+30150,12sin(B+30)1,即21+2sin(B+30)3,则L的取值范围为(2,3.
