1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。六二项式定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)对于,以下判断正确的有()A.存在nN*,展开式中有常数项B.对任意nN*,展开式中没有常数项C.对任意nN*,展开式中没有x的一次项D.存在nN*,展开式中有x的一次项【解析】选AD.设展开式的通项公式为Tr+1,则Tr+1=x4r-n,不妨令n=4,则r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则r=1时,展开式中有x的一
2、次项,故C错误,D正确.2.展开式的第5项的系数为()A.15B.-60C.60D.-15【解析】选C.的通项公式为Tr+1=26-rx6-2r,所以展开式的第5项的系数为26-4(-1)4=154=60.3.设=a0+a1+a2(2x-1)2+a10,则a1+a2+a10=()A.2B.C.-D.【解析】选D.令x=1,则原式化为2=a0+a1+a2+a10,令x=,得a0=,所以a1+a2+a10=2-=.4.已知+2+22+23+2n=729,则+=()A.63B.64C.31D.32【解析】选A.根据二项式定理展开式的逆运算可知+2+22+23+2n=,所以3n=729=36,所以n=
3、6,则+=26-=26-1=63.5.已知的展开式中含的项的系数为30,则a=()A.B.-C.6D.-6【解析】选D.通项为Tk+1=()5-k=(-a)k,由=,得k=1,即-a=30,所以a=-6.6.的展开式中的常数项为14,则正整数n的值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.展开式的通项公式为Tr+1=xr-n,故其常数项为Tn+1=,包含x-1的项为Tn-1+1=x-1=nx-1,所以展开式的常数项为3n+=14.当n为奇数时,有3n-1=14,解得n=5;当n为偶数时,有-3n+1=14,解得n=-(舍).故正整数n的值为5.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020
4、全国卷)的展开式中常数项是(用数字作答).【解析】因为Tr+1=x2(6-r)2rx-r=2rx12-3r,由12-3r=0,得r=4,所以的展开式中常数项是:24=16=1516=240,故常数项为240.答案:2408.已知742 020+a能够被15整除,其中a(0,15),则a=.【解析】由题可知,因为742 020=752 020+752 019+751+750=752 020-752 019+-751+1,所以742 020+a=752 020-752 019+-751+1+a,而75能被15整除,要使742 020+a能够被15整除,只需1+a能被15整除即可,所以1+a=15,
5、解得a=14.答案:14三、解答题(每小题10分,共20分)9.设=a0+a1x+a2x2+a5x5.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+a4+a5的值.【解析】(1)的展开式的通项为Tr+1=,r=0,1,2,3,4,5,所以a2=40.(2)当x=0时,a0=1,当x=1时,=a0+a1+a2+a3+a4+a5,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.10.的展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求:(1)n;(2)展开式中所有的有理项.【解析】(1)二项展开式的通项为Tr+1=(-1)r.依题意得,=4(-1)2,所以=,解得n
6、=6.(2)由(1)得Tr+1=(-1)r,当r=0,3,6时为有理项,故有理项有T1=,T4=-x2,T7=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.8011被9除的余数为()A.-1B.1C.8D.-8【解析】选C.8011=8111+8110+819+811+=8111-8110+819-+811-=8111-8110+819-+1181-1=8111-8110+819-+1081+81-1=8111-8110+819-+1081+80=8111-8110+819-+1081+72+8,8111-8110+819-
7、+1081+72可以被9整除,所以8011被9除的余数为8.2.(多选题)的展开式中各项系数的和为2,则其中说法正确的是()A.a=1B.展开式中含x6项的系数是-32C.展开式中含x-1项D.展开式中常数项为40【解析】选AD.因为的展开式中各项系数的和为2,令x=1得,1+a=2,所以a=1,故A正确.此时=x+,x2x-5展开式中的通项为x=25-rx6-2r,展开式中的通项为=25-rx4-2r,令6-2r=6或4-2r=6,解得r=0,所以含x6项的系数是32,故B错误.令6-2r=-1或4-2r=-1,都无解,故展开式中不含x-1项,故C错误.令6-2r=0或4-2r=0,解得r=
8、3或r=2,所以展开式中常数项为40.3.(2020全国卷)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20【解析】选C.(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-ryr(rN且r5),所以与(x+y)5展开式的乘积可表示为:xTr+1=xx5-ryr=x6-ryr或Tr+1=x5-ryr=x4-ryr+2,在xTr+1=x6-ryr中,令r=3,可得:xT4=x3y3,该项中x3y3的系数为10,在Tr+1=x4-ryr+2中,令r=1,可得:T2=x3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15.【补偿训练】 (2020北京高考)在(-2)
9、5的展开式中,x2的系数为()A.-5B.5C.-10D.10【解析】选C.通项为Tk+1=()5-k(-2)k=(-2)k,由-=2得k=1,所以所求系数为(-2)1=-10.4.已知Sn是数列an的前n项和,若(1-2x)2 021=b0+b1x+b2x2+b2 021x2 021,数列an的首项a1=+,an+1=SnSn+1,则S2 021=()A.-B.C.2 021D.-2 021【解析】选A.令x=,得=b0+=0,又因为b0=1,所以a1=+=-1.由an+1=SnSn+1=Sn+1-Sn,得=-=1,所以-=-1,所以数列是首项为=-1,公差为-1的等差数列,所以=-1+(n
10、-1)(-1)=-n,所以Sn=-,所以S2 021=-.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,nN*,且2n8,则n=.【解析】因为的通项Tr+1=xn-r=xn-4r,当n-4r=0,-1,-2时,不符合题意,因为2n8,所以n不能等于4,8,3,7,2,6,所以n=5.答案:56.已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值为.【解析】Tr+1=a9-r(-1)r,令r-9=3,得r=8.依题意,得(-1)82-4a9-8=,解得a=4.答案:47.设aZ,且0a13,若532 019+a能被13整除,则a=.【解析】因为53=52+1=413+1,
11、所以532 019+a=+a=522 019+522 018+52+1+a,由于522 019+522 018+52能被13整除,则a+1也能被13整除,因为0a13,所以1a+114且aZ,所以a+1=13,解得a=12.答案:128.(2020天津高考)在的展开式中,x2的系数是.【解析】因为的展开式的通项公式为Tr+1=x5-r=2rx5-3r(r=0,1,2,3,4,5),令5-3r=2,解得r=1.所以x2的系数为2=10.答案:10三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知展开式中前三项的二项式系数和为22.(1)求n的值;(2)求展开式中的常数项.【解析】(1)因为展开式中前三
12、项的二项式系数和为22,所以+=1+n+=22,解得n=6或n=-7(舍去).所以n的值为6.(2)由通项公式Tk+1=26-k,令6-=0,可得k=4,所以展开式中的常数项为T4+1=26-4x0=60.10.已知在的展开式中,第9项为常数项.求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项展开式的通项为Tk+1=(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,即2n-20=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6=.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.11.已知在的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;(2)求展开式中的有理项.【解析】(1)因为展开式中的前三项系数为,这三个数成等差数列,所以2=+,即n2-9n+8=0,所以n=8或n=1(舍去),所以n=8.(2)展开式的通项公式为=,所以要使Tr+1项为有理项,则16-3r=4k(kZ),所以r=0,4,8,所以有理项为T1=x4=x4,T5=x1=x,T9=x-2=.关闭Word文档返回原板块
