1、微积分 II 真题含答案微积分 II 真题含答案 一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1、函数 的定义域是_.2、设，则_.3、广义积分的敛散性为_.4、_.5、若.6、微分方程 的通解是 _.7、级数 的敛散性为.8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数 R(x)=_.9、交换 的积分次序=.10、微分方程 的阶数为 _阶.二、单选题（每题 3 分，共 15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设 D 为：，二重积分=（）A,B,C,D，0 4、若 A,B,C,D,5、=（）A,0 B,1 C,2 D,三
2、、计算下列各题（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 32分）1已知 2.求，其中 D 是由，x=1 和 x 轴围成的区域。3.已知 z=f(x,y)由方程确定，求 4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2 小题，每小题 9 分，共 18 分）：1.求由 和 x 轴围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。2.已知 x 表示劳动力，y 表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为 200 元，每单位资本的成本为 400 元，总预算为 100000 元，问生产商应如何确定 x 和 y，使产量达到最大？。五、证明题（5 分）一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1,2，3
3、，发散 4，0 5，6，y=cx 7，收敛 8，R(x)=x3+1000 x 9，10，2二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1、解：令 2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别 的敛散性，（2 分）收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)（8 分）四、应用题（每小题 9 分，共 18 分）1、解：2、解：约束条件为 200 x+400y-100000=0（2 分）构造拉格朗日函数，（4 分）,求一阶偏导数，（6 分）得唯一解为：，（8 分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的
4、x 为 40，y为 230.（9 分）五、证明题（5 分）证明：设对等式两边积分，得：（2 分）（4 分）解得：题设结论得证。（5 分）一、填空题（每题 2 分，共 20 分）1、函数的定义域是_ 2、_ 3、_ 4、若_5、设可微，则 6.已知满足方程则 _ 7、交换的积分次序=_ 8、级数_ 9、若级数的收敛，则 k 的取值范围是 10、微分方程的通解是 _ 二、单选题（每题 2 分，共 10 分）1、若广义积分，则 k=（）A，B，C，D，2、若满足方程，则（）A，0 B，1 C，D，3、设 D 为：，二重积分=_ A,B,C,D，4、下列级数发散的是()A,B，C D 5、微分方程的阶
5、数为（）A,1 B，2 C 3 D 4 三、计算下列各题（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 48分）1计算 2.已知，求 3.计算二重积分，其中 D 由，及所围成。4.求一阶线性微分方程的通解.5 判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？6 计算定积分。四、应用题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）：1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。2.某厂生产两种产品，产量分别为 x 和 y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2 分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量 x 和 y。五、证明题（4 分）证明：一、填空
6、题（每题 2 分，共 20 分）1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、2 9、，10、（c 为任意常数）二、单选题（每题 2 分，共 10 分）1、D 2、D，3、C,4、B，5、C 三、计算下列各题（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 48 分）1计算 解：-4 分-8 分 2.已知，求 解：两边去自然对数，两边关于 x 求偏导数，-4 分 整理得 所以-8 分 3.计算二重积分，其中 D 由，及所围成。解：画图（2 分），Y-型，-4 分-8 分 4.求一阶线性微分方程的通解.解：方法 1：直接算，方法 2：原方程可以化为，直接代入公式，-4 分（c 为任意常数）-8 分 5这
7、是一个交错级数，一般项为。先判断是否收敛，是一个 P-级数，且 P=，发散。-2-4-6 根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。-8 6积分区间关于原点对称，又为偶函数，则=2-2=-4=-6=-8 四、应用题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18分）：1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。解：画图（2 分）-5 分=-9 分 2.某厂生产两种产品，产量分别为 x 和 y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2 分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量 x 和 y。解：由题意知，收入函数为 利润函数 构造拉格朗日函数，-5分
8、，解得-9 分 五、证明题（4 分）利用级数的敛散性，证明：证明：先证明级数收敛，用比值判别法，所以级数收敛 由级数收敛的必要条件知道，即 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设,则=.2 当 时,收敛.3 交换积分次序.4 已知级数收敛,则=.5 若，其中具有二阶偏导数，则=.二、单选题（每小题 3 分，共 15分）1().(A);(B);(C);(D).2.函数在上可积的必要条件是在上（）（A）连续;（B）有界;（C）无间断点;(D)有原函数.3下列反常积分收敛的是()(A);(B);(C);(D).4下列级数发散的是().(A);(B);(C);(D).5 微分方程的通解是()
9、(A);(B);(C);(D).三、计算题 I（每题 6 分，共 24 分）1.求.2.设,求.3.求，其中 D 由围成.4.判别级数的敛散性.四、计算题II（每题 8 分，共 24 分）5.求.6.设由方程确定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题 8 分，共 16 分）1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为 x 和 y(千件),利润函数为(万元)已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料 2 吨,现有该原料 12 吨,问两种产品各生产多少时,总 利润最大?最大利润是多少?六、证明题（6 分）证明：若
10、收敛，则发散.一、1.;2.;3.;4.;5.二、BBACD 三、1.解:原式=(3 分).(6 分)2.解:(2 分)(4 分)(6 分)3.解：原式=（2 分）（4 分）.（6 分）4.解:记,取(4 分)又 收敛 故原级数收敛.(6 分)四、5解：令，即，则当时，（2 分）故原式（4 分）（6 分）.（8 分）6解：记（4 分）（8 分）7解：原方程可化为-一阶线性微分方程 此时，（2 分）故原方程的通解为（4 分）（6 分）由,得 从而，所求原方程的特解为.（8 分）五、1.解：1 故所求图形的面积为（4 分）2所求旋转体的体积为（5 分）.（8 分）2.解:显然,有条件成立,作辅助函
11、数(3 分)令 解之得唯一驻点(6 分)故当生产甲产品 3.8 千件,乙产品 2.2 千件时,利润最大,且最大利润为(万元).(8 分)六、证明：证明：由于（3 分），又因为 收敛，故收敛，从而，绝对收敛.（6 分）1 函数的定义域是.2.3 若_.4 设有连续的二阶偏导数，则.5=.6 广义积分收敛，则.7 交换积分次序=.8 设 D为所围区域，则.9=.10.方程是 阶微分方程.三、单选题（每小题3 分，共 15 分）1广义积分收敛于().A.0;B.;C.;D.2.设积分区域 D 是（）.A.;B.;C.;D.3下列级数中条件收敛的是（）.A.;B.;C.;D.4设，其中可微，则（）A.
12、;B.C.D.5微分方程的通解是（）。A.;B.;C.;D.三、计算题（每题 8 分，共 32 分）1.求.2.设 D 由曲线围成,求 3.已知，求.4.判别级数的敛散性.四、应用题（每小题 9 分，共 18 分）1.设 D 由与所围成，求：（1）平面图形的面积；（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。五、证明题（5 分）设，其中 F 可微。证明：一.1.;2.0;3.;4.；5.0;6.;7.;8.2(2ln2-1);9.1；10.2.二.C A D C B
13、 三.1.解:原式=(3 分)(6 分)(8 分)2解:画积分区域草图，联立方程求交点得：，（2 分）原式=.(4 分)（5 分）（8 分）3.解:令，则(3 分)(5 分)(8 分)4.解:用比值判别法(2 分)(4 分)(6 分)原级数收敛.(8 分)四.1.解：(1)，（2 分）故所求图形的面积为（5 分）(2)所求旋转体的体积为.（9 分）2.解:由需求函数 x,y 得：，利润函数=(2 分)作辅助函数=(4 分)令 解之得唯一驻点(6 分)故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为(9 分)五证明：（3 分），.（5 分）故等式成立。一、填空题（每小题 3 分
14、，共 30 分）1.函数的定义域是.2.设域是，则.3.交换积分次序.4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性，对资本的偏弹性.5.设.6.若则.7.当满足条件 时收敛。8.微分方程的通解为.9.设，其中可微，则.10.二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.=（）.A.;B.;C.;D.2.已知，则（）.A.B.C.D.3.若，则().A.B.C.D.4.下列级数发散的是()A.;B.;C.;D.5.微分方程的阶数为（）.A.3;B.4;C.2;D.6.三 计算题（每小题 8分，共 32 分）1.设,求.2.若 D 是由所围成的区域,求之值。3.
15、判别级数的收敛性。4.求方程的通解。四应用题（每小题 9 分，共 18 分）1.设平面区域 D 由抛物线与直线 围成,求:（1）D 的面积；（2）D 绕轴旋转一周所得立体的体积。2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为 100 元，原料单价为 200 元，则在投入 3 万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。五证明题（5 分）：证明：.一.1.;2.;3.;4.;5.；6.5;7.;8.y=;9.10.tanx 二.D B A D A 三.1.解:令，(2 分)则(4 分)(8 分).2.解:联立 解得两个交点坐标（2 分）（4 分）（8 分）3.解:（4
16、 分）(4 分)又是几何级数，公比收敛 故由比较判别法知原级数收敛.(8 分)(或者用比较判别法的极限形式)4.解：，代入原方程得（2 分）分离变量（4 分）两边积分 将 回代得方程的解（8 分）四1.解：（1），故所求图形的面积为（4 分）（2），所求旋转体的体积为（9 分）2.解:显然,有条件成立,作辅助函数(3 分)令（5 分）解之得唯一驻点(7 分)由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。(9 分)五证明：交换积分次序：等式左边=右边.故等式成立。一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.函数的定义域是.2.=.3.=_ _ _.4.=.5.=.6.=7
17、.设，其中 在 D 上连续，则=.8.方程是 阶微分方程.9.设,则=.10.交换积分次序=.二、单选题（每题 3分，共 15 分）1.=（）A.B.2C.0D.1 2.设，其中可微，则=（）.A.B.C.D.1 3.设，则=（）.A.B.C.D.4.设 D 由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）ABC.D 5.下列级数发散的是().A B.C.D.三、计算题（每题 8 分，共 32分）1.求。2.设由方程确定，求。3.求。4.求微分方程的通解。四、应用题（每题 9 分，共 18 分）1.设平面区域 D 由曲线围成，求 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积。2设某工
18、厂生产甲和乙两种产品,产量分别为 x 和 y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料 2 吨,现有原料 10 吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5分）证明 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1.;2.;3.0;4.1；5.1;6.2;7.2;8.二;9.；10.二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1.解：令 则 原式（5 分）.（8 分）2.解设 则(5 分)(8 分)3.解：（4 分）（6 分）（8 分）4.解：代入原方程得
19、分离变量（4 分）两边积分（6 分）得 故原方程的通解为(C 为任意常数)（8 分）四、应用题（每小题 9 分，共 18 分）1.先求的交点（0，0），（1，1）(4 分)(9 分)2.解:显然,有条件成立,作辅助函数(3 分)令 解之得唯一驻点(7 分)故当生产甲产品 3 千件,乙产品 2 千件时,利润最大,且最大利润为(9 分)五、证明题（5 分）证明：考察级数，由于（3 分）所以此级数收敛，故（5 分）一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.函数的定义域是.2.=.3.设，则=4.=_ _ _.5.=.6.=.7.设，其中 在 D 上连续，则=.8.方程是 阶微分方程.9.设,则=.
20、10.交换积分次序=.二、单选题（每题 3 分，共 15 分）1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）A.B.C.D.3.设D 由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）ABC.D 4.设，其中可微，则=（）.A.B.C.D.5.下列级数发散的是().A B.C.D.三、计算题（每题 8 分，共 32 分）1.求。2.设由方程确定，求。3.求。4.求微分方程 的通解。四、应用题（每题 9 分，共 18 分）1设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为 x 和 y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料 1 吨,现有原料 5 吨刚好用完,问两种产品各
21、生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?2.设平面区域 D由曲线围成，求 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积。五、证明题（5 分）证明 一，填空题（每小题 3 分，共 30 分）1.;2.;3.0;4.0；5.3;6.6;7.7;8.二;9.；10.二，单选题（每小题 3 分，共 15 分）1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 三，计算题（每小题 8 分，共 32 分）1.解：（4 分）（8 分）2.解设 则（3 分）(6 分)（8 分）3.解：（4 分）（6 分）（8 分）5.解：分离变量（3 分）两边积分（5 分）得 故原方程的通解为(C 为任意常数)（8 分）四，应用题
22、（每小题 9 分，共 18 分）1.解:显然,有条件成立,作辅助函数(3 分)令 解之得唯一驻点(7 分)故当生产甲产品 3 千件,乙产品 2 千件时,利润最大,且最大利润为(9 分)2.(4 分)(9 分)五，证明题（5 分）证明：考察级数，由于（3 分）所以此级数收敛，故（5 分）四、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.函数的定义域是.2.=.3.=_ _ _.4.=.5.=.6.广义积分收敛，则.7.设，其中 在 D 上连续，则=.8.方程是 阶微分方程.9.设,则=.10.交换积分次序=.五、单选题（每题 3 分，共 15 分）1.=（）A.B.2C.0D.1 2.函数，由方程所确
23、定，则=（）.A.2 B.-1 C.1 D.-2 3.设，则=（）.A.B.C.D.4.可偏导的函数取得极值点必为（）A零点B驻点C不可导点.D驻点或不可导点 5.下列级数发散的是().A B.C.D.六、计算题（每题 8 分，共 32 分）1.求。2.设由方程确定，求。3.计算 D 由和围成的区域 4.求微分方程的通解。四、应用题（每题 9 分，共 18 分）1.设平面区域 D 由曲线围成，求 D 的面积及 D 绕 x 轴 旋转所成的旋转体的体积。2销售收入 Q 与用两种广告手段的费用 x 和 y 之间的函数关系为，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是 25，试确定如何分配两种手段的
24、广告成本，以使利润最大?最大利润是多少?五、证明题（5 分）证明 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1.;2.;3.0;4.1；5.2;6.3;7.1;8.二;9.；10.二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1.解：令 则 原式（5 分）.（8 分）2.解设 则(5 分)(8 分)3.解：原式（4 分）（6 分）（8 分）5.解：由于，由公式得其通解（4 分）=（6 分）故原方程的通解为(C 为任意常数)（8 分）四、应用题（每小题 9 分，共 18 分）1.先求的交点（0，0），（1，1）(4 分)(9 分)2.解:显然,有条件成立,所求利润函数 3.作拉格朗日函数(3分)令 解之得唯一驻点(7 分)故当两种广告费用分别为 15,10 时,利润最大,且最大利润为(9 分)五、证明题（5 分）证明：令，则 于是=（3 分）所以原式成立（5 分）
