1、提能拔高限时训练8 二次函数一、选择题1.a0是方程ax2+10有一个负数根的( )A.必要不充分条件 B.充分必要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:ax2+10,当a0时,原方程有一个负根;反之,则a0.答案:B2.若函数f(x)loga(x2-ax+3)在区间(-,上为减函数,则a的取值范围为( )A.(0,1) B.(1,+) C.(1,) D.(0,1)(1,)解析:设g(x)x2-ax+3,则g(x)在区间(-,上为减函数,可得a1.又g(x)在区间(-,上有意义,所以g()0,得|a|.综上,得C正确.答案:C3.已知二次函数f(x)(x-a)(x-b)-2(a
2、b),并且,()是方程f(x)0的两根,则a,b,的大小关系是( )A.ab B.ab C.ab D.ab解析:作出函数g(x)(x-a)(x-b)(ab)的图象,得g(x)与x轴的交点为a,b,根据图象平移,将g(x)图象向下平移2个单位,得到f(x)(x-a)(x-b)-2(ab)的图象与x轴的交点为,().所以答案选A.答案:A4.已知函数yx2+bx+c且f(1+x)f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-2)f(0)f(2) B.f(0)f(-2)f(2) C.f(0)f(2)f(-2) D.f(2)f(0)f(-2)解析:f(-2)f(3)9+3b+c,f(0)c,f(2
3、)4+2b+c;f(0)cf(1)1+b+cb-10;f(0)f(2)f(-2).答案:C5.函数yax2+1的图象与直线yx相切,则a等于( )A. B. C. D.1解析:y2ax,设直线与曲线yax2+1相切于点(x0,ax02+1),切线方程为y-ax02-12ax0(x-x0),即y2ax0x-ax02+1.,选B.答案:B6.设x1,x2为方程2x2-4mx+m+10的两个实根,则x12+x22的最小值为( )A. B. C.-1 D.解析:x12+x22(x1+x2)2-2x1x2,由韦达定理,得x1+x22m,代入式,得x12+x224m2-m-1,又方程有两个实根,所以(-4
4、m)2-42(m+1)0,得m或m1.由式设f(m)4m2-m-1,m或m1,利用二次函数的性质,当时,x12+x22取最小值.所以D正确.答案:D7.已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为( )A. B. C. D.解析:方法一:因为,x-3,1.两边平方,得,当-3x1时,0,2.y24,8,y0y2,m2,.故选C.方法二:利用导数方法.x-3,1,且x-1.当x(-3,-1)时,y0f(x)单调递增;当x(-1,1)时,y0f(x)单调递减.所以Mf(-1).又当x-3,x1时,均有y2,所以m2.故选C.答案:C8.设f(x)|2-x2|,若0ab,且f(a)f(b),则ab的取
5、值范围是( )A.(0,2) B.(0, C.(0,4 D.(0,)解析:由f(x)|2-x2|,若0ab,且f(a)f(b),可知a2+b24,利用均值不等式,可得0ab,选A.答案:A9.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意的实数x,恒有f(2+x)f(2-x),若f(1-2x2)f(1+2x-x2),则x的取值范围是( )A.x2 B.x-2或x2 C.-2x0 D.无法确定解析:由f(2+x)f(2-x),知x2为对称轴,由二次函数系数为正,知距对称轴较近点的纵坐标较小,所以有|1-2x2-2|1+2x-x2-2|,解得-2x0.答案:C10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+
6、2)3f(x),当x0,2时,f(x)x2-2x,则当x-4,-2时,f(x)的最小值为( )A. B. C. D.-1解析:由f(x+2)3f(x),知函数f(x+4)3f(x+2)9f(x).当x-4,-2时,x+40,2,所以f(x+4)(x+4)2-2(x+4)9f(x).整理,得f(x)(x2+6x+8).对称轴为x-3-4,-2,代入,解得f(x)的最小值为.答案:A二、填空题11.若函数yx2+(a+2)x+3,xa,b的图象关于直线x1对称,则b_.解析:二次函数yx2+(a+2)x+3的图象关于直线x1对称,说明二次函数的对称轴为1,即.a-4.而f(x)是定义在a,b上的,
7、即a、b关于x1也是对称的,.b6.答案:612.已知f(x)x2-2x+3,在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是_.答案:1,213.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则a的取值范围是_.解析:a2时,-40恒成立,a2时,有解得-2a2.综上,-2a2.答案:-2a214.若函数的定义域和值域都是1,a(a1),则a的值为_.解析:函数的对称轴为x1.1,a1,+),函数f(x)在1,a上是增函数.又f(x)的定义域和值域都是1,a,当x1时,f(1)1,当xa时,f(a)a.解得a1或a3.又a1,a3.答案:3三、解答题15.已知函数f(x)
8、x2+bx+c满足条件:f(x-3)f(5-x),且方程f(x)x有相等实根.(1)求f(x)的解析式;(2)当x-1,+)时,f(x)2(a-1)x+a+恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)x2+bx+c满足条件f(x-3)f(5-x),则函数f(x)的图象关于直线x1对称,故b-2.又方程f(x)x有相等实根,即x2-3x+c0有相等实根,故,故f(x)x2-2x+.(2)由题意,得f(x)2(a-1)x+a+,即ax2-2ax+2在-1,+)上恒成立,而g(x)x2-2ax+2在-1,+)上的最小值是又ag(x)min等价于或解之,得a-3,1.16.已知函数f(x)和g(x)的图
9、象关于原点对称,且f(x)x2+2x.(1)求函数g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)f(x)-|x-1|;(3)若h(x)g(x)-f(x)+1在-1,1上是增函数,求实数的取值范围.解:(1)设函数yf(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则,即点Q(x0,y0)在函数yf(x)的图象上,-yx2-2x,即y-x2+2x.故g(x)-x2+2x.(2)由g(x)f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|0,当x1时,2x2-x+10,此时不等式无解;当x1时,2x2+x-10,解得-1x.因此,原不等式的解集为-1,.(3)h(x)-(1+)x2+2(1-
10、)x+1.当-1时,h(x)4x+1在-1,1上是增函数,-1.当-1时,对称轴的方程为.()当-1时,-1,解得-1;()当-1时,1,解得-10.综上,得0.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知二次函数f(x)ax2+x+1(a0)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1,x2.(1)证明(1+x1)(1+x2)1;(2)证明x1-1,x2-1;(3)若x1,x2满足不等式|1,试求a的取值范围.(1)证明:由题意,得令ax2+x+10,知,(1+x1)(1+x2)1+(x1+x2)+x1x21.(2)证明:由已知,得1-4a0,0a.即x1-1,x2-1得证.(3)解:由,由(1)得,
11、.当时,a取最大值,当或时,a取最小值,故a的取值范围是,.【例2】 已知f(x)是二次函数,不等式f(x)0的解集是(0,5),且f(x)在区间-1,4上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式(a0).解:(1)f(x)是二次函数且f(x)0的解集为(0,5),可设f(x)tx(x-5)(t0).f(x)的对称轴为且开口向上,f(x)在-1,4上的最大值为f(-1)6t12.t2.f(x)2x(x-5).(2)由已知有,x(x-5)(ax+5)0.又a0,x(x-5)()0.若-1a0,则5,x0或5x;若a1,则x0;若a-1,则5,x0或x5.综上,知当-1a0时,原不等式的解集为x|x0或5x;当a-1时,原不等式的解集为x|x0;当a-1时,原不等式的解集为x|x0或x5.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m