1、第3课时概率课后篇巩固提升基础巩固1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是() A.恰有1名男生与恰有2名女生B.至少有1名男生与全是男生C.至少有1名男生与至少有1名女生D.至少有1名男生与全是女生解析A中的两个事件互斥且不对立符合要求;B中的两个事件之间是包含关系,不符合要求;C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;D中的两个事件是对立的,不符合要求.故选A.答案A2.易经是我国古代预测未来的著作,其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.18B.14C.38D.12解析
2、抛掷三枚古钱币出现的基本事件有:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反,共8种,其中出现两正一反的共有3种,故所求概率为38.故选C.答案C3.把一枚质地均匀的骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为()A.16B.14C.13D.12解析所有基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个.而“在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇
3、数点”包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个.在第一次抛出的是奇数点的情况下,第二次抛出的也是奇数点的概率为918=12.故选D.答案D4.如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.14B.4C.13D.3解析设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=R2(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)=R2(2R)2=4,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为4.答案B5
4、.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,则从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为.解析个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为29.答案296.如图,在直角坐标系内,射线OT落在30 角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为.解析如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以OA落在yOT内的概率为60360=16.答案167.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、
5、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为.解析从五种不同属性的物质中随机抽取两种,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土),共10种等可能发生的结果.其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为12.答案128.某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象,考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查,当不处罚时,有80人会迟到,得到如下数据:处罚金额x(单位:元)50100150200迟到的
6、人数y5040200表中数据所得频率视为概率.(1)当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低多少?(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B类是其他员工.现对A类和B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查,则前两位均为B类员工的概率是多少?解(1)设“当处罚金额定为100元时,迟到的员工改正行为”为事件A,则P(A)=80-40200=15,故当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率比不进行处罚时降低15.(2)由题可知,A类员工和B类员工各有40人,故分别从A类员工和B类员工中抽出2人.设从A类员工中抽出的
7、2人分别为A1,A2,从B类员工中抽出的2人分别为B1,B2.设“对A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M,则事件M中首先抽出A1的事件有(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共6种,同理首先抽出A2,B1,B2的事件也各有6种.故事件M共有46=24(种).设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则事件N有(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1),共4种.所以P
8、(N)=424=16,故抽取的4人中前两位均为B类员工的概率是16.9.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:g/m3)为050时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200300
9、时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2017年8月18日某省x个监测点数据统计如下:空气污染指数(单位:g/m3)0,50(50,100(100,150(150,200监测点个数1540y10(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值,并完成频率分布直方图;(2)在空气污染指数分别为50100和150200的监测点中,用分层抽样的方法抽取5个监测点,从中任意选取2个监测点,事件A“两个都为良”发生的概率是多少?解(1)0.00350=15x,x=100.15+40+y+10=100,y=3
10、5.4010050=0.008,3510050=0.007,1010050=0.002.频率分布直方图如图所示.(2)在空气污染指数为50100和150200的监测点中分别抽取4个和1个监测点,设空气污染指数为50100的4个监测点分别记为a,b,c,d;空气污染指数为150200的1个监测点记为E,从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种,其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种,所以事件A“两个都为良”
11、发生的概率是P(A)=610=35.能力提升1.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A.910B.45C.12D.25解析由题意,得从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲或乙被录用”的所有不同的可能结果有9种,所求概率P=910.答案A2.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日
12、安排一名女生的概率为()A.13B.512C.12D.712解析设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4种情况,则发生的概率为P=412=13,故选A.答案A3.甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛,比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位:分
13、),其中乙队的一个得分数字被污损,那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为()A.15B.310C.25D.12解析设乙队被污损的得分数字的个位数为x,甲队平均分为x甲=16(38+41+44+46+49+52)=45.乙队平均分为x乙=16(31+47+40+x+42+51+54)=265+x6.x的可能取值的个数是10个,满足265+x645的x的个数有4个,估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率P=410=25.故选C.答案C4.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形,依此类推,这样一共画了3个正方形,如图所示.若向图形中随机投一点,则所投点落在第三个
14、正方形内的概率是.解析设第一个正方形的边长为1,则其面积为1,且第三个正方形的边长为12,其面积为1212=14,所投点落在第三个正方形内的概率是14.答案145.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生,并且这50名学生早上到校先后的可能性相同,则“小燕比小明先到校,小明又比小军先到校”的概率为.解析本题中,若对50人排序是件麻烦事,但通过合理转化,将问题化归为对3个人排序,那就非常方便了.将3个人排序共包含6个基本事件,由古典概型得所求概率为16.答案166.如图,图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点
15、,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是.图1图2解析设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平面展开图内的概率P=2+4h(2h+2)(2h+1)=14,解得h=3或h=-12(舍去),故长方体的体积为113=3.答案37.某校从高二年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:40,50),50,60),90,100后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高二年级共有学生640人,试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的学生人数;(3)若从数学成绩在
16、40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.解(1)图中所有小矩形的面积之和等于1,10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10(0.005+0.01)=0.85.由题意知,该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的学生人数约为6400.85=544.(3)成绩在40,50)分数段内的学生有400.05=2人,分别记为A,B.成绩在90,100分数段内的学生有400.1=
17、4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在40,50)分数段内,另一个成绩在90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值
18、不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.故所求概率为P(M)=715.8.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量n14151617181920频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润
19、(单位:元)的平均数;若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.解(1)当日需求量n17时,利润y=85.当日需求量n17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=10n-85,n17,85,n17(nN).(2)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为1100(5510+6520+7516+8554)=76.4.利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
