1、12.2 条件概率与全概率公式课标要求考情分析核心素养1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.2.结合古典概型, 了解条件概率与独立性的关系.3.结合古典概型, 会利用乘法公式计算概率.4.结合古典概型, 会利用全概率公式计算概率. *了解贝叶斯公式.新高考3年考题题 号考 点数据分析数学运算数学建模2022()卷20(2) 条件概率2022()卷19(3)条件概率1.条件概率定义：一般地，设A,B为两个随机事件，且PA0，我们称PBA=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若PA0，
2、则PAB=P(A)PBA我们称上式为概率的乘法公式2.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质设PA0，则PA=1；如果B和C是两个互斥事件，则PBCA=PBA+PCA；设B和B互为对立事件，则PBA=1-PBA任何事件的条件概率都在0和1之间，即：0PBA1.3.全概率公式定义：一般地,设A1,A2,A3,An是一组两两互斥的事件, A1A2A3An=,且PAi0，i=1,2,3,n,则对任意的事件B,有PB=i=1nPAiPBAi,我们称此公式为全概率公式.全概率公式的直观意义：某事件B的发生有各种可能的原因Ai（i=1,2,3,n）,并且这些原因两两互斥不
3、能同时发生，如果事件B是由原因Ai所引起的，且事件Ai发生时，BAi必同时发生，则P(B)与P(BAi)有关，且等于其总和i=1nPBAi=i=1nPAiPBAi . “全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率P(BAi),或已知各原因Ai发生的概率P(Ai)及在Ai发生的条件下B发生的概率PBAi.通俗地说，事件B发生的可能性，就是其原因Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.*4.贝叶斯公式：设A1 , A2 , , An是一组两两互斥的事件，A1A2A2=，且PAi0，i=1 , 2 , , n，则对任意的事件B，P(B)0，有PAiB=P
4、AiBP(B)=PAiPB Ai)k=1nPAkPB Ak)，i=1 , 2 , , n.1.在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)则表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率.2.概率PAB与P(AB)的联系与区别：联系：事件A,B都发生了；区别：在PAB中，事件A,B发生有时间上的差异，事件B先发生，事件A后发生；在P(AB)中，事件A,B同时发生；基本事件空间不同在PAB中，事件B成为样本空间，即PAB=n(AB)n(B)；在P(AB)中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即
5、P(AB)=n(AB)n().1【P48 练3】一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率;(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率;(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率2【P50 例5】某工厂有4个车间生产同一种计算机配件，4个车间的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%.已知这4个车间的次品率依次为0.04，0.03，0.02，0.01，现在从该厂生产的这种产品中任取1件，恰好抽到次品的概率是多少？考点一条件概率【方法储备
6、】条件概率的两种常用方法1.定义法：先求P(A)和P(AB)，再PBA=P(AB)P(A)由，求P(B|A)；2.样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件AB所包含的样本点数n(AB)，得PBA=n(AB)n(A).【典例精讲】例1.(2022湖北省武汉市模拟) 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P1=110，P2=19，P3=18(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序
7、中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率例2.(2022陕西省宝鸡市期末) 小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了龙虎山景点”，则P(A|B)=【名师点睛】条件概率的计算：(1)古典概型背景下的条件概率问题等同于对样本空间区域大小的计算；(2)统计背景下的条件概率问题(如天气预报)只需直接套公式,做个除法即可
8、求得,一定要明白P(A),P(AB) ,P(B|A)的含义.【靶向训练】 练1-1(2022黑龙江省绥化市期末) 一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是()A. 12B. 310C. 35D. 25练1-2 (2021广东省佛山市模拟) 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人
9、每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率(1)求甲同学通过测试的概率；(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率考点二全概率公式【方法储备】运用全概率公式的一般步骤如下：(1)求出样本空间的一个划分A1，A2，An；(2)求P(Ai) (i=1,2,3,n)；(3)求P(B|Ai) (i=1,2,3,n)；(4)求目标事件的概率P(B)可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”【典例精讲】例3.(2022吉林省通化市期末) 世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情
10、称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”.那么A，B，C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一人接触，感染的概率有多大【名师点睛】1.全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果.2.若已知多个条件均可以导
11、致事件A的发生，求事件A在这些条件下发生的概率，则用全概率公式；若事件A已经发生，求事件A 的发生是由某一条件引起的概率，则用贝叶斯公式.【靶向训练】练2-1. (2022山东省临沂市联考) 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110，115，120，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为 ()A. 0.08B. 0.1C. 0.15D. 0.2练2-2. (2022山东省济南市期末) 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占
12、该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率(精确到0.01)考点三条件概率与全概率公式【方法储备】全概率公式建立在古典概型、互斥事件的加法公式、条件概率、概率乘法公式等知识的基础上,可以解决生活中更一般性的概率问题.全概率公式主要利用简单事件的运算表示复杂事件,蕴含着转化与化归的数学思想, 全概率公式内容本质是条件概率的延伸,是在条件概率和两个不独立事件的概率乘法公式基础上抽象概括生成的. 【典例精讲】例4.(2022广东省惠州市联考) 甲罐中有5个红球，3个白
13、球，乙罐中有4个红球，2个白球整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是()A. P(B|A1)=1021 B. P(C|A2)=47 C. P(B)=1942 D. P(C)=4384【名师点睛】解决概率问题时，充分理解“多因一果”的概率问题的本质就是将一个“复杂事件”的概率问题转化为不同条件(原因)下发生的“简单事件”的概率求和问题,学会寻找导致“复杂事件”发生的各个原因,并厘清各原因之间的关系,利用
14、全概率公式求出事件发生的概率. 【靶向训练】练3-1. (2022湖北省咸宁市月考.多选) 甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 ()A. P(A)=35B. P(B|A)=25C. P(B)=1325D. P(A|B)=913练3-2. (2022湖北省孝感市月考) 有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为6，第二、三台加工的次品率为5，加工出来的零件混放在一起。已知第1、2、3台车床加工的零件数分别占总数的25，30，45。(1
15、)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率。易错点1对条件概率理解不准确例5.(2021河北省沧州市月考) 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个由甲厂生产的合格灯泡的概率是()A. 0.665B. 0.56C. 0.24D. 0.0285答案解析【教材改编】1【解析】(1)从袋中依次摸出2个球共有A92种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A31A41种结果，则所求概率P1=A31A41A92=16(2)设“第一次摸到黑球”为事件A
16、，“第二次摸到白球”为事件B，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件AB，又P(A)=13，P(AB)=16，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1613=12或P(B|A)=48=12(3)第一次摸球后就停止的概率为A21A91，第二次摸球后就停止的概率为A71A21A92，第三次摸球后就停止的概率为A72A21A93，则摸球次数不超过3次的概率为P2=A21A91+A71A21A92+A72A21A93=7122【解析】设Ai=第i车间生产的产品，i=1，2，3，4；B=抽到次品，P(A1)=0.15；P(A2)=0.20；P(A3)=0.30；P(A4)=0.35P(B|A1)=
17、0.04；P(B|A2)=0.03；P(B|A3)=0.02；P(B|A4)=0.01，所以恰好抽到次品的概率为P(B)=i=14P(Ai)P(B|Ai)=0.0215【考点探究】例1.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为P=1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)=1-9108978=310(2)设该款芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，由已知得P(A)=910，P(AB)=1-P=1-310=710，记工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=710109=79例2.【解析】只有小赵去了龙虎山景点
18、共有1333=27种情况，即n(B)=27，4个人去的景点互不相同且小赵去了龙虎山景点的情况有A33=321=6种，即n(AB)=6，P(A|B)=n(AB)n(B)=627=29故答案为29练1-1.【解析】方法记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“第一次取到黑球，第二次取到白球”，依题意知：P(A)=35，P(AB)=3512=310，故在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为：P(B|A)=P(AB)P(A)=12方法在第一次取出的是黑球的条件下，还有2个黑球，2个白球，故第二次取出的是白球的概率为：P(B|A)=24=12故选：A练1-
19、2 .【解析】(1)甲同学两分球投篮命中的概率为：P=510+410+310+610+7105=0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为：P=110+0+110+210+1105=0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X4)=P(X=4)+P(X=5)=0.90.50.5+0.10.5+0.10.50.5=0.3，甲同学通过测试的概率为0.3(2)同(1)可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，则P(Y=4)=0.80.40.4=0.128，P(Y=5)=0.20.4+0.20.60.4=0.128，P(X=5)=0.10.5+0.10.50.5
20、=0.075，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P(AB)=P(X=5)P(Y=4)=0.0750.128=0.0096，P(B)=P(X=4)+P(X=5)P(Y=4)+P(Y=5)=0.0768，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18例3.【解析】设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：P(A)=510=0.5，P(B)=310=0.3，P(C)=210=0.2，P(D/A)=0.95，P(D/B)=0.90，P(D/C)=0.85，则P(D)=P(D/A)P(A)
21、+P(D/B)P(B)+P(D/C)P(C)=0.950.5+0.900.3+0.850.2=0.915故答案为：0.915练2-1.【解析】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，PA1=510，PA2=310，PA3=210，PB|A1=110，PB|A2=115，PB|A3=120，则由全概率公式可得P(B)=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=510110+310115+210120=0.08故本题选A练2-2.【解析】(1)设事件B1，B2，B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品易知
22、B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，可得P(A)=i=13P(Bi)P(A|Bi)=0.250.05+0.350.04+0.40.02=0.0345故取到次品的概率为0.0345(2)PB1A=PAB1PA=PB1PAB1PA=0.250.050.03450.36故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36例4.【解析】由题意知，甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球，分别用A1、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件，分别用B、C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的事件P(B|A1)=C52C72=1021，故A正确P(C|A2)=C
23、41C31C72=4321=47，故B正确因为P(A1)=58，P(A2)=38，P(B|A1)=1021，P(B|A2)=C42C72=621=27，所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=581021+3827=1742，故C不正确因为P(A1)=58，P(A2)=38，P(C|A1)=C51C21C72=1021，P(C|A2)=47，所以P(C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=581021+3847=4384，故D正确练3-1.【解析】对于选项A，由题意可知：P(A)=C31C51=
24、35，故选项A正确；对于选项C，因为A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，设A2表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得P(A)=35，P(A2)=25，P(B|A)=P(BA)P(A)=353535=35，P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=252525=25，P(B)=P(AB)+P(A2B)=P(A)P(B|A)+P(A2)P(B|A2)=3535+2525=1325，故选项C正确；对于选项B，结合选项C可得，P(B|A)=PABPA=92535=35，故选项B错误;对于选项D，结合选项C可得，P(A|B)=PABPB=35351325=913，故选项D正确故选：ACD练3-2. 【解析
25、】设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，则=A1A2A3，A1，A2，A3两两互斥根据题意得P(A1)=0.25，P(A2)=0.3，P(A3)=0.45，P(B|A1)=0.06，P(B|A2)=P(B|A3)=0.05 (1) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525 (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=0.250.060.0525=27， P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=0.30.050.0525=27，P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=0.450.050.0525=37【易错点归纳】例5.【解析】记事件A为“买到甲厂产品”，事件B为“买到合格产品”，则P(A)=0.7，P(B|A)=0.95，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665故选A
