1、福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一数学下学期周练试题（3）一、单选题1若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）A， B， C，D， 2已知菱形的边长为，则的值为（ ）ABCD3向量，若，则实数等于（ ）ABCD4中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）A1BCD5已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）ABCD6一质点在力(3，5)，(2，3)的共同作用下，由点A(10，5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）A24 B24 C110 D1107中，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）A
2、-2 B2C-1D18已知点是内的一点，则的面积与的面积之比为（ ）A2B3CD6二、多选题9已知向量，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若在上的投影为，则向量与的夹角为C存在，使得 D的最大值为10下列说法中错误的为（ ）A已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C若，则在方向上的投影为D非零向量和满足，则与的夹角为60三、填空题11与向量平行的单位向量是_.12若点A(2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a_.13如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量，满足，则_.14如图，已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的
3、半圆上，若，则的最小值为_四、解答题15在中，D为边的中点，M为中线的中点.（1）求中线的长；（2）求与的夹角的余弦值.16在中，设.（1）求证：为等腰三角形；（2）若且，求的取值范围.参考答案1D【分析】根据不共线的向量作为基底即可得出选项.【详解】对于A， 由，所以两向量共线，故A不能选；对于B，由，所以两向量共线，故B不能选；对于C，由，所以两向量共线，故C不能选；对于D，与不共线，故D选.故选：D2B【分析】用作为基底表示，然后利用数量积运算求解.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：B3B【分析】求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】
4、由已知可得，所以，解得.故选：B.4C【分析】首先利用向量加，减，数乘运算，求得，计算的值.【详解】由可知，则有，所以，.故选：C5B【分析】先利用三角形对称性建立坐标系，利用坐标运算得到，再结合范围求二次函数值域，即得结果.【详解】以中点为原点，且令A在轴正半轴上，建立如图坐标系，则，设，则，所以，由知，故的取值范围是.故选：B.6A【分析】先求出，的合力F的坐标、的坐标，再求出由共点力平衡得合力对该质点所做的功.【详解】由题意可知，的合力=+=(3，5)+(2，3)=(1，2)，则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为.故选：A.7C【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出，再利用向量的
5、数量积的运算可以得到，因为，代入计算可求出最小值.【详解】解：在直角三角形中，则，因为M为BC的中点，所以.设， 所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.8B【分析】取中点为，根据向量之间关系，得到，过点作于点，过点作于点，得出，进而可得三角形面积之比.【详解】取中点为，则，因为，所以，则，因此，过点作于点，过点作于点，则易知，因此，所以的面积与的面积之比为.故选：B.9BCD【分析】若，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若在上的投影为，且，故当，故C正确； ， 的最大值为，故D正确.【详解】若，则，则，故A错误；若在上的投影为，且，则，故B正确；若，若，则，即，故，故C正确；
6、 ，因为，则当时，的最大值为，故D正确，故选：BCD10ACD【分析】由向量的数量积向量的投影基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，与的夹角为锐角，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；对于D，因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为30，故D项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD11或【分析】设所求单位向量的坐标为，由与向量平行可得，又由其为单位向量，则，联立即可求出答案【详解】解：设所求单位向量的坐标为，由与向量平行可得，又由
7、其为单位向量，则，得：或，故答案为：或12【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.【详解】因为A(2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以因为A，B，C三点共线，所以，故5a160，所以a.故答案为：.13【分析】由向量的基本定理，由图知，结合已知条件及向量的运算性质即可求的值.【详解】若设x轴、y轴方向上单位向量分别为，由图知：，又，得，.故答案为：.141【分析】如图建系，设P点坐标，则可得的坐标，根据题意，可得的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示由题意得：，所以，如图以BC为直径的半
8、圆方程为：，设，因为，所以，则，因为，所以，整理可得，所以，因为，所以，当时，取最大值，所以的最小值为，故答案为：115（1）；（2）.【分析】（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；（2）由于，进而根据向量数量积得，故.【详解】解:（1）由已知，又，所以，所以.（2）由（1）知，所以，从而.，所以.解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，则，因为D为边的中点，所以，所以.（2）因为M为中线的中点，由（1）知，所以，所以，所以.16（1）证明见解析；（2）.【分析】（1） ，知，由， 知，所以，即可证明为等腰三角形；（2）由，知，设，由，知，所以，由此能够求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故为等腰三角形，（2）因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，又因为，即.
