1、2012-2013学年江苏省苏南四校高三（上）12月月考数学试卷一、填空题1（5分）已知集合A=sin90，cos180，B=x|x2+x=0，则AB=1考点：交集及其运算分析：首先化简集合A和B，然后根据交集的定义得出结果解答：解：集合A=sin90，cos180=1，1B=x|x2+x=0=0，1AB=1故答案为：1点评：此题考查了交集的定义，正确化简集合A和B是解题的关键，属于基础题2（5分）不等式ax2+bx+c0的解集是（，2）（1，+），则a：b：c=1：3：2考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：利用一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系即可得出解答
2、：解：不等式ax2+bx+c0的解集是（，2）（1，+），a0，且2，1是方程ax2+bx+c=0的解，解得b=3a，c=2a0，a：b：c=1：3：2故答案为1：3：2点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系是解题的关键3（5分）设复数z=（a2a）+2ai（aR）为纯虚数，则a=1考点：复数的基本概念专题：计算题分析：给出的复数z=（a2a）+2ai（aR）为纯虚数，则该复数的实部等于0且虚部不等于0，然后列式计算a的值解答：解：由复数z=（a2a）+2ai（aR）为纯虚数，则，解得：a=1故答案为1点评：本题考查了复数的基本概念，复数为纯虚数的充要条件是实部等于0
3、且虚部不等于0，此题是基础题4（5分）函数y=的定义域为（考点：函数的定义域及其求法专题：计算题分析：求已知函数的定义域，则需要根式内部的对数式大于等于0，然后运用对数函数的单调性去掉对数符号求解关于x的一次不等式即可，要注意保证对数式的真数大于0解答：解：要使原函数有意义，则，即，因为函数 为减函数，所以，03x11，所以，所以，原函数的定义域为故答案为点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，解答此题的关键是熟练对数函数的单调性，解答此题时学生易忽略真数大于0而导致解题出错，此题是基础题5（5分）（2011江苏模拟）已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”
4、是“m”的必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系分析：直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚，解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面内的一条直线，如果m，则；反过来m为平面内的一条直线，则“”可能有m，m=p，可能有m三种情况所以“”是“m”的必要不充分条件故答案为：必要不充分点评：考查定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题6（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在50，60的汽车大约有60辆考点：频率分布直方图专题：图表型分
5、析：由已知中的频率分布直方图为200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，我们可得到样本容量，再由图中分析出时速在50，60的频率，即可得到该组数据的频数，进而得到答案解答：解：由已知可得样本容量为200，又数据落在区间的频率为0.0310=0.3时速在50，60的汽车大约有2000.3=60故答案为60点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合频率=矩形高组距计算各组的频率是解答此类问题的关键7（5分）已知某算法的流程图如图所示，则输出的结果是5考点：程序框图专题：图表型分析：框图首先给变量a和b赋值，然后执行用a+b替换c，用b替换a，用c替换b，再
6、判断b5是否成立，成立则继续进入循环，不成立则输出c的值解答：解：框图首先给变量a、b赋值，a=1，b=2；然后用a+b=1+2=3替换c，用2替换a，用3替换b，判断35成立；执行用a+b=2+3=5替换c，用3替换a，用5替换b，判断55不成立；则算法结束，输出c的值为5故答案为5点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，虽然框图先执行了一次循环体，实则是当型循环，原因是判断框中的条件满足时执行循环体，不满足时跳出循环，此题是基础题8（5分）设Sn是等比数列an的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由已知利用等比数列
7、的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简=1+q3，代入即可求解解答：解：a3+2a6=0，=即q3=1+q3=1故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题9（5分）函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移m（m0）个单位后，与y=cosxsinx的图象重合，则实数m的最小值为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值解答：解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），y=cosxsinx=sin
8、（x+），所以函数至少向左平移个单位，即m的最小值为：故答案为：，点评：本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力10（5分）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是 考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有44种结果，满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于6，可以列举出这种事件，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到结果解答：解：由题意知
9、本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有44=16种结果，满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于6，可以列举出这种事件，（2，4）（3，3）（3，4）（4，3）（4，2）（4，4）共有6种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：点评：本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数11（5分）（2011淮南一模）我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（3，4），且其法向量为的直线方程为1x（
10、x+3）+（2）（y4）=0，化简得x2y+11=0类比上述方法，在空间坐标系Oxyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为的平面方程为 x+2yz2=0考点：归纳推理分析：类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中平面的方程任取平面内一点P（x，y，z），则根据，即，将A点坐标及的坐标代入易得平面的方程解答：解：根据法向量的定义，若为平面的法向量则，任取平面内一点P（x，y，z），则PA=（1x，2y，3z），（x1）+2（y2）+（3z）=0即：x+2yz2=0故答案为：x+2yz2=0点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质
11、去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解12（5分）数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为Sn，则S30为470考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用二倍角公式对已知化简可得，an=n2（cos2sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解解答：解：an=n2（cos2sin2）=n2cos+32cos2+302cos20=+
12、=1+22232）+（42+52622）+（282+2923022）=（1233）+（4262）+（282302）+（2232）+（5262）+（292302）=2（4+10+16+58）（5+11+17+59）=2=470故答案为：470点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用13（5分）设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7考点：平均值不等式专题：不等式的解法及应用分析：把式子中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可解答：解：正实数x，y，z满足x+2y+z=1，=1+=7，当且仅当，x+y+y+
13、z=1，即，时，取等号则的最小值为7故答案为7点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键14（5分）对任意xR，函数f（x）的导数存在，若f（x）f（x）且a0则eaf（0）与f（a）的大小关系为：eaf（0）f（a）（用，之一填空）考点：导数的几何意义；不等关系与不等式专题：函数的性质及应用分析：由f（x）f（x）可得f（x）f（x）0，而由exf（x）f（x）0可判断函数exf（x）是单调递增函数，结合a0可求解答：解：f（x）f（x），f（x）f（x）0，又ex0，exf（x）f（x）0exf（x）exf（x）0而exf（x）=（ex）f（x）+exf（x）=exf（x）+exf（x）0函
14、数F（x）=exf（x）是单调递增函数，又a0所以F（a）F（0），即eaf（a）e0f（0）=f（0）变形可得：eaf（0）f（a），故答案为：点评：本题考查导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，观察和利用exf（x）的导函数的形式是解决问题的关键，属基础题二、解答题15（14分）已知向量（1）当时，求的值；（2）设函数f（x）=（），求f（x）的单调增区间；（3）已知在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c=2asin（A+B），对于（2）中的函数f（x），求f（B+）的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：综合题；平面向量及应用
15、分析：（1）利用向量共线的条件，可得3sinx=cosx，代入，即可得到结论；（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；（3）求出A的值，确定B的范围，化简函数，可得函数的值域解答：解：（1）向量，3sinx=cosx，=；（2）函数f（x）=（）=（sinx+cosx，2）（sinx，1）=sin2x+sinxcosx2=+sin2x2=sin（）由，可得xf（x）的单调增区间为，（kZ）；（3）c=2asin（A+B），sinC=2sinAsinC，sinA=A（0，），A=ABC为锐角三角形，f（B+）=sin2（B+）=sin2B，0sin2
16、B1f（B+）点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（14分）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（1）由题意可得，解得即可（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，
17、x2，都对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|c，求出即可解答：解：（1）函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR），f（x）=3ax2+2bx3函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0，切点为（1，2），即，解得f（x）=x33x（2）令f（x）=0，解得x=1，列表如下：由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=2又f（2）2，f（2）=2f（x）=x33x在区间2，2上的最大值和最小值分别为2，2对于区间2
18、，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=|2（2）|=4c即c得最小值为4点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键17（14分）（2008杨浦区二模）建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？考点：函数模型的选择与应用专题：综合题；转化思想分
19、析：（1）利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用h表示；将梯形周长用h表示；利用基本不等式求出周长的最小值（2）利用函数单调性的定义判断出函数的单调性；利用函数的单调性求出周长的最小值解答：解：（1），AD=BC+2hcot60=BC+，解得设外周长为l，则=；当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时堤高h为米（2），设，则=，l是h的增函数，（米）（当h=3时取得最小值）点评：将实际问题转化为函数模型、利用基本不等式求函数的最值注意需满足：一正、二定、三相等；利用函数单调性的定义判断函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值18（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）满
20、足下列条件：当xR时，f（x）的最小值为0，且f（x1）=f（x1）恒成立；当x（0，5）时，xf（x）2|x1|+1恒成立（I）求f（1）的值；（）求f（x）的解析式；（）求最大的实数m（m1），使得存在实数t，只要当x1，m时，就有f（x+t）x成立考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：（1）由当x（0，5）时，都有xf（x）2|x1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（1+x）=f（1x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）的对称轴为x=1，于是b=2a，再由f（x）min=f（1）=0，可得c=a，从而可求得函
21、数f（x）的解析式；（3）可由f（1+t）1，求得：4t0，再利用平移的知识求得最大的实数m解答：解：（1）x（0，5）时，都有xf（x）2|x1|+1恒成立，1f（1）2|11|+1=1，f（1）=1；（2）f（1+x）=f（1x），f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）的对称轴为x=1，=1，b=2a当xR时，函数的最小值为0，a0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR）的对称轴为x=1，f（x）min=f（1）=0，a=cf（x）=ax2+2ax+a又f（1）=1，a=c=，b=f（x）=x2+x+=（x+1）2（3）当x1，m时，就有f（x+t）x成立，f（1+t）1，即（1+
22、t+1）21，解得：4t0而y=f（x+t）=fx（t）是函数y=f（x）向右平移（t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，当t=4，t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大（m+14）2m，1m9，mmax=9点评：本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题19（16分）（2010盐城一模）已知O：x2+y2=1和点M（4，2）（）过点M向O引切线l，求直线l的方程；（）求以点M为圆心，且被直线y=2x1截得的弦长为4的M的方程；（）设P为（）中M
23、上任一点，过点P向O引切线，切点为Q试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆的位置关系专题：综合题分析：（）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；（）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的
24、半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在M上，所以把P的坐标当然到M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和的值解答：解：（）由O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，设切线l方程为y2=k（x4），易得，解得，切线l方程为；（）圆心M到直线y=2x1的距离d=，设圆的半径为r，则，M的方程为（x4）2+（y2）2=9；（）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为，根据
25、题意可得，即x2+y21=2（x2+y22ax2by+a2+b2）（*），又点P在圆上（x4）2+（y2）2=9，即x2+y2=8x+4y11，代入（*）式得：8x+4y12=2（82a）x+（42b）y+（a2+b211），若系数对应相等，则等式恒成立，解得，可以找到这样的定点R，使得为定值如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题20（16分）设数列an满足：an（nN*）是整数，且an+1an是关于x的方程x2+（an+12
26、）x2an+1=0的根（1）若a1=4且n2时，4an8求数列an的前100项和S100；（2）若a1=8，a6=1且anan+1（nN*）求数列an的通项公式考点：数列递推式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用an+1an是关于x的方程x2+（an+12）x2an+1=0的根，可得an+1=an+2，或an+1=an，结合a1=4且n2时，4an8，即可得到结论；（2）根据条件，确定数列an的前6项是8，6，4，2，1，1，且n4时，an+1=an+2，从而可得数列an的通项公式解答：解：（1）an+1an是关于x的方程x2+（an+12）x2an+1=0的根（an+1an）2+
27、（an+12）（an+1an）2an+1=0（an+1an2）（2an+1an）=0an+1=an+2，或an+1=an，a1=4且n2时，4an8，数列an为：4，6，8，4，6，8，数列an的前100项和S100=33（4+6+8）+4=598；（2）若a1=8且anan+1（nN*）an+1=an+2，或an+1=an，数列an的前6项是：8，6，4，2，0，2或8，6，4，2，1，1或：8，6，3，1，1，3或8，6，2，0，2，4或8，6，2，1，1，3a6=1，数列an的前6项是8，6，4，2，1，1，且n4时，an+1=an+2，数列an的通项公式是；点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题版权所有：高考资源网()
