1、 复 数一、 网上课堂（一） 本讲主要内容本章的知识结构如下： 虚 数 单 位实数 复数 表示法 运算 运用解有关方程开方乘方乘除法加减法三角表示几何表示代数表示解有关几何问题（二） 学习指导1 了解对数集的扩充，加深对复数概念的理解.从小学、初中到高中，数集的扩充如下：正整数 零 整数 有理数负整数 分数 实数 无理数 复数 虚数由于数的概念的不断发展，才使数学运算中出现的矛盾不断解决，而虚数单位的引入，也正是由于解方程的需要，根据的规定，定义了复数， 实数（b=0）复数z=a+b 非纯虚数（a0） (a,bR) 虚数（b0） 纯虚数（a=0）实数和虚数统称为复数，两者又有区别：（1） 实数
2、可以比大小，而虚数不能比大小；（2） 实系数的一元二次方程可以用来解，虚系数的一元二次方程不可以用来解；（3） 若a2+b2=0,在实数范围内，只有当a=b=0时上式才可以成立；在虚数范围内，可以取其它值，如a=1+,b=1-;（4） 在实数范围内适用的公式=，在虚数范围内不一定适用，如=1，=-1.2 复数的三种表示形式的作用. 复数的代数形式是在复数定义之后给出的，说明任何一个复数均可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，即复数与复平面内的点一一对应，利用代数形式可以进行复数的加、减、乘、除四则运算，其中对于加、减法的运算比较简便，可以比较两个复数是否相等. 复数的几何形式是用平面向量来表
3、示相应的复数，这样平面向量与复数是一一对应的关系.复数的大小即为相应的平面向量的模，复数的加、减、乘、除四则运算可以在复平面内用向量方法进行，这样就沟通了复数与几何之间的联系，是数形结合思想的具体表现.例如：可以把复数之差的模理解为两点（一动点，一定点）之间的距离，所以我们可以用复数的形式来表示某些点的轨迹.若设为复数，则有：（1）表示对应点之间的距离；（2）=表示以对应点为圆心，为半径的圆；（3）表示以对应点为两端点的线段的垂直平分线；（4）表示以对应点为焦点，为长轴长的椭圆，（）；（5）表示以对应点为焦点，为实轴长的双曲线，（）；复数的三角形式可以很直观地找出复数的模与幅角，另外在做乘、除
4、、乘方、开方运算时，用复数的三角形式十分简便，其几何意义也易于理解和应用，这种形式把复数与三角，与角度及其三角函数值联系了起来.要利用复数的三角形式解题，首先要抓住三角形式的基本特点：（1）；（2）余弦在前，正弦在后；（3）中间用“+”号连接；（4）前后三角函数中的角形式要一致；只有同时满足这四条时才是三角形式.（三） 例题精讲例1 已知，（1） 设，求的三角形式；（2） 如果，求实数的值.分析及解本题主要运用共轭复数、复数的相等、复数的三角形式等基础知识及复数的运算.（1） 由与的关系式，将=1+代入，化简，即求出.，再化为三角形式.（2） 将代入关系式，得则由复数相等的条件 解出.例2 已
5、知虚数满足是实数，且，求虚数.分析及解本题解法较多，每一种解法都是运用数学的转化思想，根据题目条件进行的.解法一：设虚数，则，由于是实数，知，且，虚数，又，而，.这是解复数题中最基本的一种方法，令代入法.解法二：由入手，可设.再算 由，且, .这种解法从幅角入手，设出复数的三角形式，代入关系式，再利用它是实数的条件，求.解法三：是实数，.，由于是虚数，可知，.可设，下同例1，解出.这种解法利用实数的共轭复数仍是它本身的知识，这也是整体法解复数题的一个例子.例3 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为（其中O是原点），已知对应复数，求和对应的复数.分析及解 本题是一道典型的运用复数
6、乘法的几何意义的问题.根据题意，所对应的向量顺时针旋转，模长缩短为模长的倍，即为.逆时针旋转，模长同样缩短为模长的倍，即为.设对应的复数为， 例4已知复数，复数，在复数平面上所对应的点分别为P，Q.证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.分析及解本题主要是复数三角形式的运算.解法一：要证OPQ是等腰直角三角形，可利用结论：两个非零复数z1，z2在复平面内对应的向量互相垂直的充要条件是是纯虚数.由已知|z|=1，|w|=1，则， 为纯虚数， ，OPQ为等腰直角三角形.解法二：将OPQ的边OP，OQ视为两向量，求它们的夹角是否为直角. OP，OQ的夹角, 即. OPQ为等腰直角三角形.解法三：
7、可利用勾股定理验证. =而 OPQ为等腰直角三角形. 二、网上能力训练题（一） 基础性训练题1 选择题(1)设为复数，那么是同时为零的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件 (2)若 ,则值为( ) (A) (B) 或 (C) (D) (3)的值等于( ) (A)1 (B) 1 (C) (D) - (4)复数的模为,幅角主值为,则下列结论 中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) (5)复数的一个立方根是,它的另外两个立方根是( ) (A) (B) (C) (D) (6)已知是实系数一元二次方程的一 个根,a,b的值为
8、( )(A) (B) (C) (D) 2 解答题 (7)已知，解方程. (8)设复数，化简 (9)已知复数满足，且，求 的值. (10)设z是复数，z+2的幅角为，z-2的幅角为，求z.（二） 提高性训练题1 填空题(1) 复数为纯虚数的充要条件是_(2) 已知复数z满足|z|=1，且|z-1|=|z-i|，则z=_(3) 若复数在复平面内对应的点分别为A，B，C，且D为BC中点，则向量所对应的复数是_(4) 已知复数z满足，则的最大值为_(5) 若复数在复平面上对应的三个点A，B，C组成直角三角形，且，则 z_(6) 是实系数方程的两个虚数根，且.则实数m的取值范围是_2 解答题(7) 若复
9、数z满足是纯虚数，且有，求z.(8) 已知关于x的方程有实数根，求复数z的模的最小值.(9) 若复数z使得是实数，试说明复平面上表示z的点的轨迹方程.(10) 已知方程有实根b，且，求复数的幅角主值的取值范围.能力训练题点拨与解答（一）基础性训练题1 选择题(1) B.实数范围内适用的结果在复数范围内未必适用.如令，则.(2) B.由复数相等定义，得，解集为或，由于，或.(3) D.解法一： . 解法二： ， 则 .(4) C.复数， 模，幅角主值为， 在第一象限， ，.(5) D.数形结合思想的运用，一个复数的n次方根对应的点均匀地分布在以原点为圆心的圆上，已知一个点为（0，1），则另外两点
10、的纵坐标必为负值.(6) A.化简，它是方程的根， 解得.或利用实系数方程有共轭虚根及根与系数的关系来求.2 解答题(7)解：设将代入原方程，得 整理得 由复数相等的定义，得，解得 .(8)解： (9)解：由，可知.设，则又为方程的两根.解得或w或.(10)解法一：的幅角为，设， 的幅角为, 解得 .解法二：由题意复数z,-2，2所对应点可构成直角三角形.如图5-1，连结OZ，-2，O，Z构成正三角形，z对应点的复数为.（二） 提高性训练题1 填空题(1) .由已知，且可设.(2) 或.由已知，复数z所对应的点Z在直线y=x上，且，得(3) .D点所对应的复数， 所对应复数.(4) .由已知得
11、复数z对应点Z的轨迹是以为端点的线段.表示动点Z到定点的距离的最大值，如图5-2，易知.(5) .利用的充要条件是是纯虚数.,， ,是纯虚数，且,.(6) . 为方程的两个虚数根，得 2 解答题(7) 解：此题若求z，应先求. 设 若是纯虚数，则 即 与联立，解得 ， 由题意，只取， . 也可用其它办法求，由于是纯虚数，得， 得到，即.(8) 解：设是方程的一个实数根，则，.(9) 解法一：设， 为实数 或 或或. 对应点轨迹为x轴、y轴（除原点）及圆. 另解，为实数 则，即 则， 除（0，0）点 (10) 解：由方程有实根b，则代入b，由复数相等的条件知 解出(i) 当时，故复数的幅角主值在. 即(ii) 当时，故复数的幅角主值在. 即 由(i)(ii)得的幅角主值的取值范围是 .研究性习题 设复平面上的点A，B，C对应于复数，且， ，若，求四边形OABC的面积.分析及解利用复数乘法的几何意义，求出各复数的模和幅角，就可通过分割图形，应用面积公式求解.A点对应的复数，可设为 ， . 高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
