1、1椭圆11椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一椭圆的定义1定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距2椭圆的集合表示设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为M|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|，a为常数知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0
2、)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆()2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()3椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()题型一求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q.考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所
3、以所求椭圆的标准方程为x21.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)，由椭圆的定义知，2a2，即a，又c2，所以b2a2c26，所以所求椭圆的标准方程为1.(3)方法一当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得由ab0，知不合题意，故舍去；当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.反思感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆
4、方程(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)与椭圆y21有相同的焦点且经过点M(，1)考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的
5、标准方程解(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆y21，知焦点在x轴上，则c2312，c，椭圆的两个焦点坐标分别为(，0)和(，0)设所求椭圆的标准方程为1(a22)，把(，1)代入方程，得1，化简，得a45a240，a24或a21(舍)，所求椭圆的标准方程为1.题型二椭圆定义的应用命题角度1利用椭圆定义求轨迹方程例2如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义
6、有关的轨迹方程解设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.反思感悟利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤跟踪训练2如图所示，在圆C：(x1)2y225内有一点A(1,0)Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解如图所示，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|MQ|
7、CM|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|5|AC|2.故点M的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且2a5，c1，故a，b2a2c21.故点M的轨迹方程为1.命题角度2椭圆中的焦点三角形问题例3已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解由题意知|F1O|3，|F1F2|6.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义，得|PF1|PF2|4，即48|PF1|
8、2|PF2|22|PF1|PF2|.由得|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|sin 60.引申探究若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积解由椭圆1，知|PF1|PF2|4，|F1F2|6，因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|236，所以|PF1|PF2|6，所以|PF1|PF2|3.反思感悟1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|
9、PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量2焦点三角形的周长等于2a2c.设F1PF2，则焦点三角形的面积为b2tan .跟踪训练3已知AB是过椭圆x2y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|_.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案2解析由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6.所以|AF1|BF1|642，即|AB|2.1“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点椭圆
10、的定义题点由椭圆定义确定轨迹答案A解析若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件2椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5 B6 C7 D8考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案D解析设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2.结合椭圆定义|PF2|PF1|10，故|PF2|8.3已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A1 B2 C3 D4考点
11、椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案B解析由题意得，椭圆标准方程为x21，又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.4设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积为_考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案4解析由椭圆方程，得a3，b2，c.|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，且|F1F2|2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1F2是直角三角形，且PF1PF2，F1PF2的面积为|PF1|PF2|244.5若ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨
12、迹方程考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，C(3,0)，设B(x，y)，则|BC|AB|ac2b2|AC|12，B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且a6，c3，b227.故所求的轨迹方程为1(y0)1平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|
13、的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.1 B.1C.1 D.1考点求椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案C解析|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，|PF1|PF2|2|F1F2|224|F1F2|.点P的轨迹应是以F1，F2为焦点的椭圆c1，a2，b2a2c23，动点P的轨迹方程为1.2设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A16 B18 C20 D不确定答案B解析PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为2a10，c4，所以周长为10818.3已知椭圆的焦点坐标为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程
14、为()A.1 B.y21C.1 D.x21考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案A解析c1，a()2，b2a2c23，椭圆的方程为1.4方程10化简的结果是()A.1 B.1C.1 D.1考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案C解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c4，a5.所以b2a2c29，故化简结果为1.5椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4 C8 D.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案B解析如图，F2为椭圆右焦点，连接MF2，则ON是F1MF2的中位线，|ON|MF
15、2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.6设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案D解析a2 6，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0且a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是椭圆7“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案B解析当方程1表示椭圆时，必有所以1m3且m2；但当1mb0
16、)短轴长为2，离心率e，b，又a2b2c2，a3，ABF2的周长|AF2|AB|BF2|4a12.11已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案3解析由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.又，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，即4c22|PF1|PF2|4a2，|PF1|PF2|2b2，|PF1|PF2|2b2b29，又b0，b3.三、解答题12求过点(0,4)且与椭圆9x24y236有相同焦点的椭圆的方程考点椭圆标准方程
17、的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解由9x24y236，得1，则c，焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1(ab0)，则a4，b2a2c211，所求椭圆方程为1.13一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程考点与椭圆有关的轨迹方程题点与椭圆定义有关的轨迹方程解两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R，|MO1|MO2|10.而|O1O2|6b0)的焦点分别为F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题解(1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c1.又3a24b2，a2b2a2c21，a24，b23，椭圆的标准方程为1.(2)如图所示，|PF1|PF2|1.又由椭圆定义知，|PF1|PF2|4，|PF1|，|PF2|，|F1F2|2，cos F1PF2.
