1、荆州中学20162017学年度上学期期 中 考 试 卷年级：高一 科目：数学（理科） 一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.M（NP） B.MCU（NP）C.MCU（NP） D.MCU（NP）2.已知则A. abc B. cab C. cba D. acb3. 根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（ ） x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A(-1,0) B(0,1) C (1,2) D(2,3)4
2、. 把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）A B C D5.幂函数在上为减函数，则实数m的值为Am=2 Bm=-1 Cm=2 或m=-1 D6碘131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天(即经过8天的时间，有一半的碘131会衰变为其他元素)今年10月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘131，到10月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘131，则10月1日凌晨，放人该容器的碘131的含量是（ ）A8毫克 B16毫克 C32毫克 D64毫克7. 集合,则集合中元素的个数不可能是A. 4和1 B.4和0 C.3和1 D. 3和08.函数的函数值
3、表示不超过x的最大整数，例如，则的解有A.1 B.2 C.3 D.无数个9.在这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是A.0， B. 1 C.2 D. 310. 已知偶函数在区间0,3上单调递增，在区间3，+）上单调递减，且满足f(-4)=f(1)=0,则不等式的解集是A.B.C.D.11.已知函数在区间有最小值，则函数在区间上一定A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数12若不等式对任意的恒成立，则取值范围（ ） A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。13. 则f(0)= 14.函数的定义域是 15.函数的单调递增区间是
4、16已知函数，若，且，则 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. ( 本小题满分12分)已知集合,求.18. ( 本小题满分12分)函数是R上的奇函数，且,（1）求a,b的值；（2）判断函数的单调性并证明. 19. ( 本小题满分12分)已知函数,（1）当时，求该函数的值域；（2）求上的最小值g(t).20.( 本小题满分12分) 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为（元）.设购买某商品得到的.设某商品标价为x元，购买该商品得到的
5、实际折扣率为y.（1）写出当时，y关于x的函数关系式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？21. ( 本小题满分12分)已知函数的定义域为（-1,1），对任意且当（1）验证函数是否满足这些条件；（2）若求的值；（3）若,试解关于x的方程.22. ( 本小题满分10分)（1）已知 的值；（2）计算.2016-2017学年湖北省荆州中学高一（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合U，M，N，P如图所示
6、，则图中阴影部分所表示的集合是（）A.M（NP） B.MCU（NP）C.MCU（NP） D.MCU（NP）【考点】Venn图表达集合的关系及运算【专题】图表型【分析】根据题目所给的图形得到以下几个条件：在集合M内；不在集合P内；不在集合N内再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案【解答】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合PN的补集中，即在CU（PN）中，因此阴影部分所表示的集合为MCU（PN），故选B【点评】本题着重考查了用Venn图表达集合的关系及集合的三种运算：交集、并集、补集的相关知识，属于
7、基础题2（5分）（2016秋荆州区校级期中）已知a=0.65.1，b=5.10.6，c=log0.65.1，则（）AabcBcabCcbaDacb【考点】对数值大小的比较【专题】转化思想；函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a=0.65.1（0，1），b=5.10.61，c=log0.65.10，cab故选：B【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）（2014南海区模拟）根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为（） x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（
8、1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系【专题】计算题【分析】令f（x）=exx2，方程exx2=0的根即函数f（x）=exx2的零点，由f（1）0，f（2）0知，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2）【解答】解：令f（x）=exx2，由图表知，f（1）=2.723=0.280，f（2）=7.394=3.390，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2），故选 C【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件4（5分）（2016秋荆州区校级期中）把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个
9、单位得到y=2x的图象，则函数f（x）=（）Af（x）=2x+2+2Bf（x）=2x+22Cf（x）=2x2+2Df（x）=2x22【考点】指数函数的图象变换【专题】计算题【分析】（法一）：直接求解：把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f（x+2）2，根据题意可得f（x+2）2=2x，从而可求f（x）（法二）逆向求解：把函数y=2x的图象向右、向上分别平移2个单位可得函数y=f（x）的图象，根据函数的图象的平移法则可求f（x）【解答】解：（法一）把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f（x+2）2f（x+2）2=2xf（x+2）=2x+2=2x+22+
10、2则f（x）=2x2+2（法二）把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位得到y=2x的图象函数y=2x的图象向右、向上分别平移2个单位可得函数y=f（x）的图象根据函数的图象的平移法则可得，f（x）=2x2+2故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减的应用，要注意解答本题时的两种思维方式5（5分）（2016秋荆州区校级期中）幂函数y=（m2m1）x5m3在（0，+）上为减函数，则实数m的值为（）Am=2Bm=1Cm=2 或m=1D且m【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】幂函数y
11、=（m2m1）x5m3在（0，+）上为减函数，可得m2m1=1，5m30，解出即可得出【解答】解：幂函数y=（m2m1）x5m3在（0，+）上为减函数，m2m1=1，5m30，解得m=2故选：A【点评】本题考查了幂函数单调性与定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）（2016秋荆州区校级期中）碘131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘131会衰变为其他元素）今年10月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘131，到10月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘131，则10月1日凌晨，放人该容器的碘131的含量是（）A8毫克
12、B16毫克C32毫克D64毫克【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】设10月1日凌晨，放人该容器的碘131的含量是x毫克，则x=2，即可得出结论【解答】解：由题意，设10月1日凌晨，放人该容器的碘131的含量是x毫克，则x=2，x=16毫克故选B【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查方程思想，比较基础7（5分）（2016秋荆州区校级期中）集合A=x|（x3）（xa）=0，aR，B=x|（x4）（x1）=0，则集合AB，AB中元素的个数不可能是（）A4和1B4和0C3和1D3和0【考点】交集及其运算；并集及其运算【专题】计算题；分类讨论；集
13、合【分析】求出集合A，B，然后求解集合AB，AB，判断即可【解答】解：集合A=x|（x3）（xa）=0，aR=，B=x|（x4）（x1）=0=1，4，当a=3时，集合AB=3，1，4，AB=，集合AB，AB中元素的个数为3，0当a3，1，4时，集合AB=a，3，1，4，AB=，集合AB，AB中元素的个数为4，0当a=1时，集合AB=3，1，4，AB=1，集合AB，AB中元素的个数为3，1当a=4时，集合AB=3，1，4，AB=4，集合AB，AB中元素的个数为3，1故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，交集、并集的求法，考查计算能力8（5分）（2016秋荆州区校级期中）函数f（x）=x的函数值
14、表示不超过x的最大整数，例如3.5=4，2.1=2，则f（x）x=0的解有（）A1B2C3D无数个【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用【分析】画出函数函数f（x）=x的图象，函数y=x是图象，判断两个函数的交点个数即可【解答】解：函数函数f（x）=x与函数y=x是图象如图：由两个函数的图象可知，交点个数是无数个故选：D【点评】本题考查函数的零点个数的判断，数形结合思想的应用，是中档题9（5分）（2016秋荆州区校级期中）在y=2x，y=log2x，y=x这三个函数中，当0x1x21时，使f（）恒成立的函数的个数是（）A0B1C2D3【考点】函数恒成
15、立问题【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】分别计算f（），利用基本不等式的性质即可判断出大小关系【解答】解：0x1x21时，使f（）恒成立，则函数图象在（0，1）上是下凹的对于函数y=2x，当0x1x21时，使f（）=，=，因此0x1x21时，使f（）恒成立同理可得：y=log2x，y=x这两个函数不成立综上可得：恒成立的函数的个数是1个故选：B【点评】本题考查了恒成立问题等价转化方法、基本不等式的性质、指数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）（2012秋麻城市校级期末）已知偶函数y=f（x）（xR）在区间0，3上单调递增，在区间3，
16、+）上单调递减，且满足f（4）=f（1）=0，则不等式x3f（x）0的解集是（）A（4，1）（1，4）B（，4）（1，1）（3，+）C（，4）（1，0）（1，4）D（4，1）（0，1）（4，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；数形结合；函数的性质及应用【分析】作出函数f（x）的草图，x3f（x）0，根据图象即可解得不等式组的解集【解答】解：根据题意作出函数y=f（x）的草图：由图象知，x3f（x）0或，解得0x1或x4或4x1，故选D【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题11（5分）（2016焦作一模）函数f（x）=x22ax+a在区
17、间（，1）上有最小值，则函数在区间（1，+）上一定（）A有最小值B有最大值C是减函数D是增函数【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明【专题】计算题【分析】先由二次函数的性质可得a1，则=，分两种情况考虑：若a0，a0分别考虑函数g（x）在（1，+）上单调性【解答】解：函数f（x）=x22ax+a在区间（，1）上有最小值，对称轴x=a1=若a0，则g（x）=x+2a在（0，+），（，0）上单调递增若1a0，g（x）=x+2a在（，+）上单调递增，则在（1，+）单调递增综上可得g（x）=x+2a在（1，+）上单调递增故选D【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，及基本初等函数的单调性的
18、应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及基本方法12（5分）（2016秋荆州区校级期中）若不等式lg（x1）lg3对任意x（，1恒成立，则a的取值范围是（）A（，0B1，+）C0，+）D（，1【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】原不等式可整理为a=（）x+（）x，然后转化为求函数y=（）x+（）x在（，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值【解答】解：不等式lg（x1）lg3，即不等式lglg3x1，3x1，整理可得a=（）x+（）x，y=（）x+（）x在（，1）上单调递减，x（，1）时，y=（）x+（）x+=1，要使原不等式恒成立，只需a1，即a的取值范围是
19、（，1故选：D【点评】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13（5分）（2016秋荆州区校级期中）f（x）= 则f（0）=3【考点】函数的值【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】由已知得f（0）=f（2）=f（4）=log28，由此能求出结果【解答】解：f（x）=，f（0）=f（2）=f（4）=log28=3故答案为：3【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的性质的合理运用14（5分）（2016秋荆州区校级期中）函数f（
20、x）=的定义域是（0，）【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】要使函数有意义，则需x0，且log0.5x10，分式的分母不等于0，运用对数函数的单调性，即可得到定义域【解答】解：要使函数f（x）=有意义，则，解得0x函数f（x）=的定义域是：（0，）故答案为：（0，）【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，对数的真数大于0，分式的分母不等于0，属于基础题15（5分）（2016秋荆州区校级期中）函数f（x）=log0.5（5+4xx2）的单调递增区间是2，5）【考点】复合函数的单调性【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应
21、用【分析】令t=5+4xx2 0，求得函数的定义域，f（x）=log0.5t，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：令t=5+4xx2 0，求得1x5，故函数的定义域为（1，5），f（x）=log0.5t，本题即求函数t在定义域内的增区间利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为2，5），故答案为：2，5）【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题16（5分）（2016秋荆州区校级期中）已知函数f（x）=|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则 +=2【考
22、点】函数的零点【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用【分析】不妨设a1，令f（x）=|loga|x1|=b0，从而可得x1=ab+1，x2=ab+1，x3=ab+1，x4=ab+1，从而解得【解答】解：不妨设a1，则令f（x）=|loga|x1|=b0，则loga|x1|=b或loga|x1|=b；故x1=ab+1，x2=ab+1，x3=ab+1，x4=ab+1，故+=，+=；故+=+=+=2；故答案为：2【点评】本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2016秋荆州区校级期中）已知
23、集合A=x|12x316，B=x|log2（x2）3求R（AB），R（AB），（RA）B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】转化思想；定义法；集合【分析】化简集合A、B，再根据交集、并集与补集的定义进行计算即可【解答】解：集合A=x|12x316=x|0x34=x|3x7=3，7），集合B=x|log2（x2）3=x|0x28=x|2x10=（2，10）；AB=（2，10），AB=A，CRA=（，3）7，+）；CR（AB）=（，210，+），（4分）CR（AB）=（，3）7，+），（8分）（CRA）B=（2，3）7，10）（12分）【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目18（12
24、分）（2016秋荆州区校级期中）函数f（x）=是R上的奇函数，且f（1）=，（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】（1）利用函数是奇函数，函数值列出方程，即可求出a，b（2）直接利用函数的单调性的定义证明即可【解答】解：（1）f（x）为R上奇函数，f（0）=0，即a=b，2a+b=1，结合有 a=1，b=1（6分）（2）由（1）得，设x1x2则，即f（x1）f（x2），f（x）为单调递增函数 （12分）【点评】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判断与应用，考查函数与方程的思想，是基础题19（
25、12分）（2016秋荆州区校级期中）已知函数f（x）=（2log4x2）（log4x），（1）当x2，4时，求该函数的值域；（2）求f（x）在区间2，t（t2）上的最小值g（t）【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域【专题】综合题；函数思想；换元法；函数的性质及应用【分析】（1）令m=log4x，则可将函数在x2，4时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题；（2）根据二次函数的性质和对称轴，分类讨论即可求出最小值【解答】解：（1）令m=log4x，x2，4时，则m，1，则f（t）=（2m2）（m）=2m23m+1=2（m）2，当m=时，有最小值为，当m=或1时，有最大值为0，该函数的
26、值域为，0，（2）由（1）可知f（m）=2m23m+1=2（m）2，x2，t，m，log4t，当m时，即2t2时，函数f（t）在，log4t，单调递减，g（t）=f（t）min=f（log4t）=2log42t3log4t+1当m时，即t2时，函数f（t）在，上单调递减，在（，log4t单调递增，g（t）=f（t）min=f（）=，综上所述：g（t）=【点评】本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档20（12分）（2013秋海陵区校级期末）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的
27、八折出售，折后价格每满500元再减100元如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为15000.8200=1000（元）设购买某商品得到的实际折扣率=设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y（1）写出当x（0，1000时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在2500，3500的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？【考点】根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由已知中的折扣办法，分x（0，625）和x625，1000两种情况，分别求出函数的解析式，将10
28、00代入计算实际付款额可得实际折扣率（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在2500，3500，可得答案【解答】解：（1）5000.8=625当x=1000时，y=0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7 （2）当x2500，3500时，0.8x2000，2800当0.8x2000，2500）即x2500，3125）时，解得x30002500x3000； 当0.8x2500，2800即x3125，3500时，解得x37503125x3500； 综上，2500x3000或3125x3500即顾客购买标价在2500，3000）3125，3500
29、间的商品，可得到的实际折扣率低于【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键21（12分）（2016秋荆州区校级期中）已知函数f（x）的定义域为（1，1），对任意x，y（1，1），有f（x）+f（y）=f（）且当x0时，f（x）0（1）验证函数f（x）=lg是否满足这些条件；（2）若f（）=1，f（）=2，且|a|1，|b|1，求f（a），f（b）的值（3）若f（）=1，试解关于x的方程f（x）=【考点】抽象函数及其应用；函数的值【专题】计算题；阅读型【分析】（1）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足，最后求出当x0时的值域，看是否满
30、足即可；（2）先判定函数的奇偶性，然后建立f（a），f（b）的方程组，解之即可；（3）先判定函数f（x）在（1，1）上的单调性，然后得到，建立关于x的方程，解之即可【解答】解：（1）由可得1x1，即其定义域为（1，1）又=又当x0时，1x1+x0，故满足这些条件（2）令x=y=0，f（0）=0，令y=x，有f（x）+f（x）=f（0）=0，f（x）为奇函数由条件得，解得（3）设1x1x21，则x1x20，1x1x20，则，f（x1）f（x2）0，f（x）在（1，1）上是减函数原方程即为，又故原方程的解为【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和奇偶性的判定，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题22（10分）（2016秋荆州区校级期中）（1）已知+=3，求的值；（2）计算【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】转化思想；函数的性质及应用【分析】（1）由，可得，+2=49，进而得出（2）利用对数的运算性质即可得出【解答】解：（1），+2=49，又，（2）=log62（log62+2log63+log62）log46=2log62log46=log64log46=1【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
