1、2015-2016学年辽宁省鞍山一中高三（下）第四次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合P=x|12x8，Q=1，2，3，则PQ=（）A1，2B1C2，3D1，2，32已知复数z满足zi=2i，i为虚数单位，则z=（）A2iB1+2iC1+2iD12i3抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=（）A4B3C2D14已知向量，满足（+）=2，且|=1，|=2，则与的夹角为（）ABCD5下列各命题中正确的是（）若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；命题“xR
2、，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”；“x=4”是“x23x4=0”的充分不必要条件；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n20，则m0且n0”ABCD6对任意的非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，且mina，b，c表示a，b，c中的最小值，则2min1，log0.30.1，30.1的值为（）A0B1CD230.17关于函数，下列命题正确的是（）A由f（x1）=f（x2）=1可得x1x2是的整数倍By=f（x）的表达式可改写成Cy=f（x）的图象关于点对称Dy=f（x）的图象关于直线对称8已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAA
3、C，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）ABCD9已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x，1时，f（x）=lnx，若当x时，函数g（x）=f（x）ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A，0Bln，0C，D，10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A7+B7+2C4+2D4+11设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：=1（a1b10）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF2=90，若椭圆的离心率e，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A，B，）C，D，+）12已知函数f（x）满足：f（x）+2f（x）0，
4、那么下列不等式成立的是（）ABCDf（0）e2f（4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知实数x，y满足，则的最小值为14已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为15当x（，1，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为16在ABC中，bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，且acosC+asinC=b+c，则ABC的面积为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a1=1，S1，S2，S4成等比（1）求数列an的通项公
5、式；（2）设，证明对任意的nN*，b1+b2+b3+bn2恒成立18某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组160，165），第二组165，170），第三组170，175），第四组175，180），第五组180，185）得到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的
6、概率19如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，BCD=120，AB=PC=2，AP=BP=（）求证：ABPC；（）求点D到平面PAC的距离20已知F1，F2分别是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2x轴，直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成ABF2（1）求椭圆E的离心率；（2）设F1PF2的周长为，求ABF2的面积的最大值21设函数f（x）=（1+aax）lnxb（x1），其中a，b是实数已知曲线y=f（x）与x轴相切于点（1，0）（1）求常数b的值；（2）当1x2时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC
7、是O的内接三角形，PA是O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交O于点D，PA=PE，ABC=45，PD=1，DB=8（1）求ABP的面积；（2）求弦AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x1|（）试求f（x）的值域；（）设若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，试求实数a的取值范围2015-2016学
8、年辽宁省鞍山一中高三（下）第四次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合P=x|12x8，Q=1，2，3，则PQ=（）A1，2B1C2，3D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】化简集合P，再由Q，求出两集合的交集即可【解答】解：由20=12x8=23，0x3，集合P=0，3），Q=1，2，3，PQ=1，2，故选：A2已知复数z满足zi=2i，i为虚数单位，则z=（）A2iB1+2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运
9、算化简得答案【解答】解：由zi=2i，得故选：D3抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=（）A4B3C2D1【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得x+1=3，即可解得x【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线l为x=1，由抛物线的定义可得，|MF|=x+1，由题意可得x+1=3，解得x=2，故选C4已知向量，满足（+）=2，且|=1，|=2，则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角【解答】解：根据条件， =；与的夹角为故选：B5下
10、列各命题中正确的是（）若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”；“x=4”是“x23x4=0”的充分不必要条件；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n20，则m0且n0”ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据复合命题真假关系进行判断，根据特称命题的否定是全称命题进行判断，根据充分条件和必要条件的定义进行判断，根据否命题的定义进行判断【解答】解：若命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题；故错误，命题“xR，x2+13x”的否定是“xR，x2+13x”；故正
11、确，由x23x4=0得x=4或x=1，则“x=4”是“x23x4=0”的充分不必要条件；故正确，命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n20，则m0或n0”故错误，故正确的是，故选：A6对任意的非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，且mina，b，c表示a，b，c中的最小值，则2min1，log0.30.1，30.1的值为（）A0B1CD230.1【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，并输出，比较1，log0.30.1，30.1的大小，即可得解【解答】解：分析程序中各变量、各语句的
12、作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，30.11，log0.30.11，可得：min1，log0.30.1，30.1=1，21，y=21=1故选：B7关于函数，下列命题正确的是（）A由f（x1）=f（x2）=1可得x1x2是的整数倍By=f（x）的表达式可改写成Cy=f（x）的图象关于点对称Dy=f（x）的图象关于直线对称【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数，由f（x1）=f（x2）=1可得 sin（2x1）=sin（2x2）=0，2x12x2是 的整数，即x1x2是的
13、整数倍，故A不正确函数f（x）=3sin（2x）+1=3cos（2x）+1=3cos（2x）+1=3cos（2x）+1=3cos（2x+）+1，故B不正确对于函数，令x=，可得f（x）=1，故y=f（x）的图象关于点对称，故C正确令x=，求得函数f（x）=3sin（2x）+1=3cos+1=+1，不是函数的最值，故D错误，故选：C8已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】利用等体积转换，求出PC，PAAC，PBBC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三
14、棱锥PABC外接球的体积【解答】解：由题意，设PC=2x，则PAAC，APC=，APC为等腰直角三角形，PC边上的高为x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距离为x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC的中点为球心，球的半径为2，三棱锥PABC外接球的体积为=故选：D9已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x，1时，f（x）=lnx，若当x时，函数g（x）=f（x）ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）A，0Bln，0C，D，【考点】抽象函数及其应用【分析】由题意先求出设x1，上的解析式，再用分段函数
15、表示出函数f（x），根据对数函数的图象画出函数f（x）的图象，根据图象求出函数g（x）=f（x）ax与x轴有交点时实数a的取值范围【解答】解：设x1，则，1，因为f（x）=f（）且当x，1时，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=lnx，则f（x）=，在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：因为函数g（x）=f（x）ax与x轴有交点，所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，ln），即有ln=，解得a=ln由图象可得，实数a的取值范围是：ln，0故选：B10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A7+B7+2C4+2D4+
16、【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为从正方体中切出来的三棱锥，利用正方体模型计算三棱锥的各边，再计算面积【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为2正方体中切出来的三棱锥ABCD，如图所示其中C为正方体棱的中点，SABC=2，SABD=2，AC=BC=，SACD=CD=3，BD=2，cosCBD=sinCBD=SBCD=3几何体的表面积S=2+2+3=7+故选A11设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（ab0）与双曲线C2：=1（a1b10）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF2=90，若椭圆的离心率e，则双曲线C2的离心率e1的取值范围为（）A，B，）C，D，+）【考点】椭圆
17、的简单性质【分析】设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得st=2a1，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a，由双曲线的定义可得st=2a1，解得s=a+a1，t=aa1，由F1MF2=90，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为a2+a12=2c2，由离心率的公式可得，+=2，由e，可得e2，即有2，解得e1，由a1b1，可得e1=，故选：B12已知函数f（x）满足：f（x）+2f（x）0，那么下列不等式成立的是（）ABCDf（0）e2f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性【分
18、析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可【解答】解：f（x）+2f（x）0，可设f（x）=，f（1）=，f（0）=e0=1，f（1），故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知实数x，y满足，则的最小值为【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的定义，利用数形结合进行求解【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点与点E（3，0）的斜率，由图象知AE的斜率最小，由得，即A（0，1），此时的最小值为=，故答案为：14已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数
19、为4【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数，再根据方差公式的性质得到新数据的方差【解答】解：由方差的计算公式可得：S12= x12+x22+xn212=可得平均数1=2对于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2有2=2+2=4，故答案为：415当x（，1，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为a【考点】函数恒成立问题；指数函数综合题【分析】容易知道分母恒大于0，得到分子要恒大于0【解答】解：，1+2x+4xa0，设t=2x，因为x（，1，所以0t2y=1+t+at2，要使y0恒成立，即y=1+t+at20，所以设，则，因
20、为0t2，所以，所以，所以a故答案为：（，+）16在ABC中，bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，且acosC+asinC=b+c，则ABC的面积为【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】由余弦定理结合已知可得a=b=2，利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简等式acosC+asinC=b+c，可得sin（A）=，结合范围A（0，），可求A=B=C=，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：bcosC+ccosB=acosC+ccosA=2，在ABC中，由余弦定理可得：b+c=a+c=2，整理解得：a=b=2，A，B为锐角，acosC+asinC=b+c，利用正弦
21、定理可得：sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，sinAsinC=cosAsinC+sinC，sinA=cosA+1（sinC0），可得：2sin（A）=1，可得sin（A）=，A（0，），A（，），A=，可得：A=B=，可得：C=AB=，ABC的面积S=absinC=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a1=1，S1，S2，S4成等比（1）求数列an的通项公式；（2）设，证明对任意的nN*，b1+b2
22、+b3+bn2恒成立【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设数列an的公差为d，由题意可得：，即，解出即可得出（2）（2）由（1）得，可得=（n2）利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意可得：，即，a1=1，d0，d=2，an=2n1（2）由（1）得Sn=n2，当n=1时，b1=12成立；当n2时，b1+b2+bn成立，所以对任意的正整数n，不等式成立18某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组160，165），第二组165，170），第三组170，175），第四组175，180），第五组180，185）得
23、到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率【考点】频率分布直方图【分析】（1）利用频率分布直方图中的频率=纵坐标组据，求出第三、四、五组的频率；（2）利用频数=频率样本容量求出各组的人数；求出各组人数与样本容量的比，再乘以6求出各组抽出的人数（3）通过列举法得到从6名学生中抽2名所有的结果及第四组至少有一
24、名学生被甲考官面试的结果；利用古典概型概率公式求出概率【解答】解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.065=0.3第四组的频率为0.045=0.2第五组的频率为0.025=0.1（2）第三组的人数为0.3100=30第四组的人数为0.2100=20第五组的人数为0.1100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人（3）设第三组的3位同学为A1，A2，A3，第四组的2位同学为B1，B2，第五组的1位同学为C1则从6位同学中抽2位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（
25、A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2）（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共15种可能其中第四组的2位同学B1，B2中至少1位同学入选有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为19如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，BCD=120，AB=PC=2，AP=BP=（）求证：ABPC；（）求点D到平面PAC的距离【考点
26、】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角【分析】（）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出POAB，COAB，从而AB平面PCO，由此能证明ABPC（）由VBPAC=VPABC，求点D到平面PAC的距离【解答】（）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，APB为等腰三角形，POAB又四边形ABCD是菱形，BCD=120，ACB是等边三角形，COAB又COPO=O，AB平面PCO，又PC平面PCO，ABPC（II）解：APB=90，AB=2，AP=BP=，PO=1ABC是边长为2的正三角形，OC=又PC=2，PO2+CO2=PC2，POOC，又POAB，ABOC=O，PO
27、平面ABC，四边形ABCD是菱形，B，D到平面PAC的距离相等，设为h，SPAC=，SABC=由VBPAC=VPABC，可得，h=20已知F1，F2分别是椭圆E：的左右焦点，P是椭圆E上的点，且PF2x轴，直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成ABF2（1）求椭圆E的离心率；（2）设F1PF2的周长为，求ABF2的面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设出两焦点的坐标，由x=c代入椭圆方程，可得P的坐标，求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得a=2b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）运用椭圆的定义，结合离心率，可得a，b，进
28、而得到椭圆方程，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得三角形ABF2的面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得F1（c，0），F2（c，0），设点P在第一象限，令x=c，可得y=b=，则，可得，则a2=4b2=4（a2c2），可得3a2=4c2，即c=a，即有离心率e=；（2）由（1）可得2c=a，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，F1PF2的周长为2a+2c=，解得a=1，c=，则b=，可得椭圆方程为x2+4y2=1，由题知直线斜率不为0，设直线方程为，由，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有，|y1y2|=，则=，“=”成立时t
29、2=2，即t=，则ABF2的面积的最大值为21设函数f（x）=（1+aax）lnxb（x1），其中a，b是实数已知曲线y=f（x）与x轴相切于点（1，0）（1）求常数b的值；（2）当1x2时，关于x的不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f（1）=0，即可求常数b的值；（2）求得f（x）=alnx+1，x1，2，f（x）=，分类讨论当a1时，当a0时，当1a0时，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=（1+aax）lnxb（x1）的导数为f（x）=alnx+b，因为y=f（x）与
30、x轴相切于（1，0），故f（1）=0，即aln1+1b=0，解得b=1；（2）由f（x）=alnx+1，x1，2，f（x）=，当a1时，由于x1，2，有f（x）0，于是f（x）在x1，2上单调递增，从而f（x）f（1）=0，因此f（x）在x1，2上单调递增，即f（x）f（1）=0，而且仅有f（1）=0，符合；当a0时，由于x1，2，有f（x）0，于是f（x）在x1，2上单调递减，从而f（x）f（1）=0，因此f（x）在x1，2上单调递减，即f（x）f（1）=0不符；当1a0时，令m=min1，当x1，m时，f（x）0，于是f（x）在x1，m上单调递减，从而f（x）f（1）=0，因此f（x）在x
31、1，m上单调递减，即f（x）f（1）=0，仅有f（1）=0，不符综上可知，所求实数a的取值范围是（，1选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交O于点D，PA=PE，ABC=45，PD=1，DB=8（1）求ABP的面积；（2）求弦AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长【解答】解：（1）因为PA是O的切线，切点为A，所以PAE=ABC=45，又PA=PE，所以PEA=45，APE=90因为PD=1，D
32、B=8，所以由切割线定理有PA2=PDPB=9，所以EP=PA=3，所以ABP的面积为BPPA= （2）在RtAPE中，由勾股定理得AE=3又ED=EPPD=2，EB=DBDE=82=6，所以由相交弦定理得ECEA=EBED=12 所以EC=2，故AC=5选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系【分析】（I）圆C的参数方程（为参数）消
33、去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II）由直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=可得普通方程：直线l，射线OM分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出【解答】解：（I）圆C的参数方程（为参数）消去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简得：=2cos，即为此圆的极坐标方程（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是（sin+）=3，射线OM：=可得普通方程：直线l，射线OM联立，解得，即Q联立，解得或P|PQ|=2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x1|（）试求f（x）的值域；（）设若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，试求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的值域【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）minf（x）max【解答】解：（）函数可化为，f（x）3，3（）若x0，则，即当ax2=3时，又由（）知f（x）max=3若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，即g（x）minf（x）max，a3，即a的取值范围是3，+）2016年8月3日
