1、数学第卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线的倾斜角为 （ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】C【解析】由直线方程可知直线的斜率，选C.2. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】逆用斜二测画法，把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形.【详解】，,原图形周长为8.故选：B.【点睛】本题考查斜二测画法的运用，属于基础题.3. 在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为( )A
2、. （3，4，5）B. （3，4，5）C. （3，4，5）D. （3，4，5）【答案】A【解析】【分析】由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.【详解】关于平面对称点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（3，4，5）故选A【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.4. 已知点A(1，2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是 ( )A. 2B. 7C. 3D. 1【答案】C【解析】由已知条件可知线段的中点，在直线上，把中点坐标代入直线方程，解得，故选C.5. 半径为
3、的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥的高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.6. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角
4、的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.【详解】连接如下图所示，分别是棱和棱的中点，正方体中可知，是异面直线所成的角，为等边三角形，.故选：C.【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.7. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】该正三棱柱底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，由此能求出该正三棱柱的表面积【详解】解：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的
5、高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为故选：【点睛】本题考查正三棱柱的表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题8. 已知点A(2, 3)，B(3, 2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A. k2或kB. k2C. kD. k2【答案】A【解析】试题分析：因为，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A考点：直线的斜率9. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B
6、正确.考点：空间点线面位置关系10. 圆与圆的公切线有几条（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可.【详解】圆，圆心 ，圆 ，圆心，圆心距,两圆外切，有3条公切线.故选:C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.11. 已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.【详解】设球
7、的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12. 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ()A. B. C. 6D. 【答案】D【解析】【分析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线
8、上，光线所经过的路程为.【详解】点关于轴对称点坐标是，设点关于直线的对称点，由，解得，故光线所经过的路程，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若直线与直线互相垂直，则实数=_【答案】1 或0【解析】【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求
9、解即可.【详解】因为与直线互相垂直，所以，解得，故答案为0或1.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（） ；（2）（）.14. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】【解析】【详解】设球的半径为r,则,，所以，故答案为.考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.15. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_.【答案】【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显
10、然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小圆心到直线的距离为：,切线长的最小值为：故本题正确答案为.16. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值其中正确说法是_【答案】【解析】随着倾斜度的不同，水面四边形的面积改变，但水的部分始终呈棱柱状，且棱平面，棱，平面，体积是定值，高为定值，则底面积为定值，则底面积为定值，即为定值，综上正确三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知直线经过点（2，5）
11、，且斜率为 （1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】(1) 3x4y140；(2) 3x4y10或3x4y290.【解析】【分析】（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.【详解】（1）由点斜式方程得，.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，解得：或.或【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.18. 如图所示，在正方体中，与交于点O（1）求证：平面（2）求直线AC与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到平面
12、；（2）连接，由（1）可知AC在平面上的射影是OC，即是直线AC与平面所成角，再利用直角三角形的性质计算可得；【详解】解：（1）证明：因为为正方体，所以面，又由面，所以，因为四边形为正方形，所以，平面，平面，平面所以平面（2）连结OC，由（1）可知平面所以AC在平面上的射影是OC，所以是直线AC与平面所成角设正方体的棱长为2，在直角三角形ACO中， ，所以，所以所以直线AC与平面所成的角是.【点睛】本题考查线面垂直的证明，线面角的计算，属于中档题.19. 如图1，已知知矩形中，点是边上的点，与相交于点,且，现将沿折起，如图2,点的位置记为，此时.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（
13、1）见解析；（2）【解析】【详解】（1）证明：为矩形，,，因此，图2中，又交于点，面.（2）矩形中，点是边上的点，与相交于点，且，三棱锥体积.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解；(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解20. 如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求证：面平面【答案】（1）详见解析；（2）详见
14、解析【解析】【详解】试题分析：（1）连结，设，从而可证在中/，根据线面平行的判定，即可得证；（2）根据题意可证得，从而根据线面垂直的判定可知面，再由面面垂直的判定即可得证试题解析：（1）为平行四边形，连结，设，为中点，为中点，在中，且平面，平面，平面；（2）平面平面，平面面，四边形为正方形，平面，平面，又，是等腰直角三角形，且即，且，面，面，又面，平面平面考点：1线面平行的判定；2线面垂直的判定21. 已知圆和直线.（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时直线的方程；（3）已知点P（）在圆C上，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析
15、】【分析】（1）把直线的方程变形后，根据直线恒过定点，得到关于与的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离，发现小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线与圆恒交于两点；（2）由平面几何知识可知，当直线与垂直时，所截取的线段最短，由圆心和定点的坐标求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，由的坐标和求出的斜率写出直线的方程，再由与的坐标，利用两点间的距离公式求出即为弦心距，根据圆的半径，弦心距及弦的一半构成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此时的弦长（3）根据，表示圆上的点到原点的距离的平方，计算出圆心到原点的距离，从而得
16、解；【详解】解：（1）因为所以令解得所以直线过定点.而，即点在圆内部.所以直线与恒交于两点.（2）.过圆心与点的直线的方程为，被圆截得的弦长最小时，直线必与直线垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.（3）因为，表示圆上的点到的距离的平方，因为圆心到原点的距离所以【点睛】本题考查直线过定点问题，弦长问题以及圆上的点到定点的距离的最值，属于中档题.22. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4， 点D是AB的中点（1）求证：ACBC；（2）求证：AC/平面CDB；（3）求二面角B-DC-B1的余弦值【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）二面角B-D
17、C-B1的余弦值为【解析】【详解】试题分析：（1）考虑到第三问要求二面角的大小，故需要在空间直角坐标系中用法向量的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）问也可方便证明，因为是直三棱柱可以以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量证明即可得证；（2）要证明线面平行，必须证明线线平行；（3）分别求出平面BDC和平面DCB1的法向量，求出法向量的夹角的余弦值即为二面角B-DC-B1的余弦值（注意值的正负判断）试题解析：因为直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5所以两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（1）因为，所以，即（2）设,则,故所以,即因为平面,平面,所以AC/平面CDB（3）设平面的一个法向量为，则，令，则可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为，则，由图可知，二面角B-DC-B1余弦值为考点：1直线与平面平行的判定及性质；2利用空间直角坐标系求二面角的求法；
