1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十七导数与函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,-3)和(1,+)D.(-3,1)【解析】选D.y=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)ex,令(-x2-2x+3)ex0,由于ex0,则-x2-2x+30,解得-3x0恒成立,即f(x)0在x(0,2)上恒成立,所以f(x)在(0,2)上是增
2、函数.3.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2.则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)【解析】选B.构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f(x)2.所以g(x)=f(x)-20,所以g(x)是R上的增函数.所以f(x)2x+4g(x)0g(x)g(-1).所以x-1.4.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则()A.b6B.b6【解析】选A.因为y=3x2-2b,由题意知y0在(2,8)内恒成立,即bx2在(2,8)内恒成立,所以b6.5.若函数f(x
3、)=x-sin 2x+asin x在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.C.D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin 2x-sin x,f(x)=1-cos 2x-cos x,但f(0)=1-1=-0),则g(x)是增函数,故需g(0)=b0,b-2,所以b(-2,0).答案:(-2,0)8.已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.则实数a=_;若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值范围为_ .【解析】因为函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),所以a
4、+b=4.f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由条件f(1)=-1,即3a+2b=9.由解得a=1,b=3.f(x)=x3+3x2,则f(x)=3x2+6x.令f(x)=3x2+6x0,得x0或x-2.因为函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,所以m,m+1(-,-20,+),所以m0或m+1-2,所以m0或m-3.答案:1m0或m-3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0,求a的取值范围.【解析】由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x
5、+1ex,f(x)=ax2+(a-1)x-aex.依题意需对于任意x0,1,有f(x)0.当a0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图像开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1;当a=0时,对于任意x(0,1),f(x)=-xex0,符合条件;当a0,不符合条件.故a的取值范围为0,1.10.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值.(2)求f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=ea-x-xea-x+b,由切线方程可得解得a=2,b=e.(2)f(x)=xe2-x+e
6、x,f(x)=(1-x)e2-x+e.令g(x)=(1-x)e2-x,则g(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).令g(x)=0得x=2.当x2时,g(x)2时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.所以f(x)=g(x)+ee-10.所以f(x)的增区间为(-,+),无减区间.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列函数中,在(0,+)内为增函数的是()A.y=sin xB.y=xe2C.y=x3-xD.y=ln x-x【解析】选B.显然y=sin x在(0,+)上既有增又有减,故排除A;对于函数y=xe2,因
7、e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+)内为增函数;对于C,y=3x2-1=3,故函数在,上为增函数,在上为减函数;对于D,y=-1 (x0).故函数在(1,+)上为减函数,在(0,1)上为增函数.2.设f(x),g(x)在a,b上可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)【解析】选C.因为f(x)-g(x)0,所以(f(x)-g(x)0,所以f(x)-g(x)在a,b上是增函数,所以当axf(a)-g(a),所以f(x)+g(a)g(x)+f(a).3.函数y=的图像大致是()【解析】选C.因为y=f(-x)
8、=-f(x),所以y=f(x)=为奇函数,所以y=f(x)的图像关于原点中心对称,可排除B.又因为当x0时,f(x)=,f(x)=,所以当xe时,f(x)0,所以函数f(x)在(e,+)上单调递减;当0x0,所以函数f(x)在(0,e)上单调递增.故可排除A,D,而C满足题意.4.定义在R上的函数f(x),若(x-1)f(x)2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定【解析】选C.因为(x-1)f(x)1时,f(x)0,当x0,则f(x)在(1,+)上单调递减,在(-,1)上单调递增,所以f(0)f(1),f(2)f(
9、1),则f(0)+f(2)0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f(x)0,得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1k+1,解得-k,又因为(k-1,k+1)为定义域内的一个子区间,所以k-10,即k1.综上可知,1k.答案:6.函数y=f(x)在其定义域内可导,其图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集为_.【解析】由图像可知f(x)在和2,3)上单调递减,由导函数的定义知f(x)单调递减时f(x)0,由此知f(x)0的解集为2,3).答案:2,3)7.若函数f(x)=x2+ax+在上是增函数,则a的取值范
10、围是_.【解析】因为f(x)=x2+ax+在上是增函数,故f(x)=2x+a-0在上恒成立,即a-2x在上恒成立.令h(x)=-2x,则h(x)=-2,当x时,h(x)0,则h(x)为减函数,所以h(x)h=3,所以a3.答案:3,+)8.若函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)=-ax-2=-.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f(x)0在(0,+)内有解.当a0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-10在(0,+)内恒有解;当a0在(0,+)内有解,则解得-1a0;当a=0时,显然符合题意.综合上述,a的取值范
11、围是(-1,+).答案:(-1,+)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得f(x)=3x2-a.因为f(x)在(-,+)上单调递增,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对x(-,+)恒成立.因为3x20,所以只需a0.(2)假设f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,则a3x2在x(-1,1)时恒成立.因为-1x1,所以3x23,所以只需a3.当
12、a=3时,在x(-1,1)上,f(x)=3(x2-1)1),e是自然对数的底数.(1)试判断函数f(x)在区间(0,+)上的单调性;(2)当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点.【解析】(1)f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.因为a1,所以当x(0,+)时,ln a0,ax-10,所以f(x)0,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增.(2)因为f(x)=ex+x2-x-4,所以f(x)=ex+2x-1,所以f(0)=0.当x0时,ex1,所以f(x)0,所以f(x)是(0,+)上的增函数.同理,f(x)是(-,0)上
13、的减函数.又f(0)=-30,f(1)=e-40,当x2时,f(x)0,所以当x0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,所以k=1满足条件.f(0)=-30,f(-1)=-20,当x0,所以当x0时,函数f(x)零点在(-2,-1)内,所以k=-2满足条件.综上所述,k=1或-2.11.已知函数f(x)=ln x-ax+-1,aR.(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.(2)当0a时,讨论f(x)的单调性.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+-1,x(0,+),所以f(x)=,x(0,+).由f(x)=0,得x=1或x=-2(舍去),所以当x(0,1)时,f(x)0,函
14、数f(x)单调递增.故当a=-1时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2)因为f(x)=ln x-ax+-1,所以f(x)=-a+=-,x(0,+).令g(x)=ax2-x+1-a,x(0,+).当a=0时,g(x)=-x+1,x(0,+),当x(0,1)时,g(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减;当x(1,+)时,g(x)0,函数f(x)单调递增.当0a10,所以当x(0,1)时,g(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减;当x时,g(x)0,函数f(x)单调递增;当x时,g(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减.综上所述,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当0a时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.关闭Word文档返回原板块
