1、第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系【选题明细表】知识点、方法题号平面直角坐标系中的伸缩变换1极坐标与直角坐标的互化2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线.(1)写出的参数方程;(2)设直线l:3x+2y-6=0与的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为上的点(x,y),依题意,得即由+=1,得()2+()2=1,即曲线的方程为+=1.故的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P
2、1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为(1,),由题意知,所求直线的斜率k=.于是所求直线方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,得4cos -6sin +5=0.2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解:(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(2)将
3、=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=,故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.3.在极坐标系中,曲线C:=2acos (a0),l:cos(-)=,C与l有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求|OA|+|OB|的最 大值.解:(1)曲线C:=2acos (a0),变形2=2acos ,化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.所以曲线C是以(a,0)为圆心,a为半径的圆.由l:cos(-)=,展开为cos +sin =,所以l的直角坐标方程为x+y-3=0.由题可知直线
4、l与圆C相切,即=a,解得a=1.(2)不妨设A的极角为,B的极角为+,则|OA|+|OB|=2cos + 2cos(+)=3cos -sin =2cos(+),当=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.4.已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点极坐标为(3,),曲线C的参数方程为=2cos(-)(为参数).(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2cos +4sin =的距离的最小值.解:(1)点P的直角坐标为(,).由=2cos(-)得2=cos +sin ,可得曲线C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1.(2)直线l:2cos +4sin =的直角坐标方程为2x+4y-=0.设点Q的直角坐标为(+cos ,+sin ),则M(+,+),那么M到直线l的距离d=,所以d=(当且仅当sin(+)=-1时取等号),所以M到直线l:2cos +4sin =的距离的最小值为.
