1、山东省德州市德城区第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.【详解】直线斜率为,故倾斜角的正切值,又,故.故选：A【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可【详解】抛物线的方程可变为x2=y故p=其准线方
2、程故答案为：B.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误3. 已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据得到，从而得到，再计算即可.【详解】，因为，解得，即.所以.故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.4. 已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出轴的方向向量，代入向量的夹角公式，即可得解.【详解】易知轴的方向向量为， 解得：，故选：B.【点睛】本题考查了向量法求线面角，在解题
3、时注意线面角和向量所成角的关系，注意公式的正确应用，属于基础题.5. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，则抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过，利用待定系数法求即可【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应抛物线的焦点到准线的距离为.故选A【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物
4、线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般6. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设C：1抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4C的实轴长为47. 如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】取的中点，构造中位线，得到四边形是平行四边形，所以，找出角，再利用余弦定理得到答案.【详解】如图，取的中点，连接，所以
5、，又，所以，,则四边形是平行四边形，所以，则异面直线与所成角为，令三棱柱各棱长为2， ，由余弦定理得，故选：A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，通过做平行线找到，再放在三角形中计算.8. 点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可详解：圆，圆心 ，半径由题意可知，点到圆的切线长最小时，直线圆心到直线的距离 ，切线长的最小值为故选C点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉
6、及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）A. y=x+1B. y=2C. D. y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.【详解】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为：，故错误；B. 点M(5，0)到直线
7、y=2的距离为：，故正确；C. 点M(5，0)到直线的距离为：，故正确；D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误；故选：BC【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；B. 若非零向量，满足，则有；C. 若，是空间的一组基底，且，则，四点共面；D. 若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.【详解】解：对于A：若向量，与空间任意向量都
8、不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故A正确；对于B：若非零向量，满足，则与不一定共线，故B错误；对于C：若，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，四点共面，故C正确；对于D：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使，则，也是空间的一组基底.故选：ACD.【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题型.11. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）A. 的方程为B. 的离心率为C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断；再求出双曲线的焦点坐标
9、判断，；直线与双曲线的渐近线的关系判断【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即双曲线的方程为，故正确；对于B：由，得，双曲线的离心率为，故错误；对于C：取，得，曲线过定点，故正确；对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故不正确故选：12. 如图，在菱形中，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 与平面所成的最大角为B. 存在某个位置，使得C. 当二面角的大小为时，D. 存在某个位置，使得到平面的距离为【答案】BC【解析】【分析】取的中点，得到，得出与平面所成的角为，可判定A错误；当点在平面内的投影
10、为的重心点时，由平面，所以，可判定B正确；当二面角的大小为时，平面平面，得到为直角三角形，可判定C正确；由点到的距离为，得到平面，可得，可判定D不正确.【详解】对于A中，取的中点，连接，则，由题意可知和均为正三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，当时，为等边三角形，此时，所以A错误；对于B中，当点在平面内的投影为的重心点时，有平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，所以B正确；对于C中，当二面角的大小为时，平面平面，因为，所以，因平面平面，所以平面，所以,又，所以为直角三角形，所以，所以C正确；对于D中，因为点到的距离为，点到的距离为，所以若点到平面的距离为，则平面平面
11、，平面平面，则有平面，可得，所以是等边三角形，所以D不正确.故选：BC.【点睛】以空间中点、线、面位置关系的判定为命题的解题策略：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.3、对于折叠问题要注意在折叠过程中形成的二面角和线面角概念及其应用.三填空题13. 若圆与圆相切，则的值为_【答案】或【解析】【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果
12、.【详解】圆的圆心为，半径为；由整理得，则圆的圆心为，半径为；因为两圆相切，若两圆外切，则有，即，解得；若两圆内切，则有或，即或（舍），解得.故答案为：或.【点睛】本题主要考查由两圆相切求参数，属于基础题型.14. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程的特征列出不等关系，求解不等关系可得结果.【详解】由题意得，解可得或；解可得或；综上可得的取值范围是.故答案为：.【点睛】方程表示椭圆则有：；方程表示双曲线则有：.15. 正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为_ ；与对角面所成角的正弦值是 _【答案】 (1). (2). 【解
13、析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，计算，对角面的一个法向量为，计算得到答案.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，故，.故，故与直线所成角的大小为.易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_【答案】2，)【解析】【分析】根据直线与渐进线的关系得到，再计算离心率范围得到答案.【详解】过的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为
14、正的渐近线的倾斜角应不小于的倾斜角已知的倾斜角是60，从而，故.故答案为：2，)【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力.四解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共60分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. （1）若抛物线的焦点在直线上，求此抛物线的标准方程；（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解出直线与坐标轴的交点坐标，根据焦点坐标设出抛物线的方程，即可求出；（2）写出椭圆的焦点坐标，根据焦点坐标设出双曲线的方程，再结合渐近线方程即可求出.【详解】解：（1）直线与坐标轴
15、的交点为，若焦点为，则抛物线开口向右，设方程为，由，得：，故方程为：；若焦点为，则抛物线开口向下，设方程为，由，得：，故方程为：；抛物线的标准方程为或；（2），椭圆的焦点坐标为：，即双曲线的焦点为：，设双曲线的方程为，则，渐近线方程为，可得：，解得，故双曲线的方程为.18. 已知，求：（1）；（2）与所成角的余弦值.【答案】(1) c(3，2,2);(2).【解析】试题分析：（1）利用向量共线、垂直的条件，求出的值，即可求出；（2）分分别求出的坐标，利用公式求出试题解析：（1）因为ab，所以，解得x2,y4，这时a(2,4,1)，b(2,4,1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于
16、是c(3，2,2)（2）由（1）得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos.19. 已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：（1）求出两直线交点，直线的斜率，即可求直线的方程；（2）利用待定系数法求圆的标准方程.试题解析：（1）由已知得:, 解得两直线交点为， 设直线的斜率为与垂直 过点的方程为，即（2）设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为，则由垂径定理得圆的标准方程为. 20. 已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2.（
17、1）求的方程；并求其焦点坐标；（2）过点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，求弦的长.【答案】（1）抛物线的方程为；焦点坐标为；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知求出的值即得解；（2）由题得直线方程为，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解.【详解】（1）抛物线的标准方程为，由抛物线的定义可知：，解得，因此，抛物线的方程为，焦点坐标为；（2）直线方程为，由得，设，则，.【点睛】方法点睛：求抛物线的弦长，一般先联立直线和抛物线的方程，再利用弦长公式求解.21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的
18、正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接因为平面，平面平面，所以因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点 （2）取的中点，连接，因为，所以又平面平面，且平面，所以平面因为平面，所以因为是正方形，所以 如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，于是平面的法向量为，所以由题知二面角为锐角，所以它的大小为 （3）由题意知， 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为22. 已知，分别是椭圆：的左右焦点，是椭圆 上的点，且轴，直线经过，与椭圆交于，两点，与，两点构成（1）求椭圆的离心率；（2）设的周长为，求的面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）设点在第一象限，则，.（2） ，椭圆方程为：由题知直线斜率不为0，设直线方程为，得“=”成立时，所以面积的最大值为.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的综合应用
