1、2.3等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第二章数列考点一考点二N0.1 课堂强化N0.2 课下检测考点三返回读教材填要点1等差数列前n项和的最值在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值；当a10，Sn有最小值小问题大思维1在等差数列an中，若a10，d0或a10，d0，d0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a10，d0，an为递增数列由an2n370，得n18.5.a180，S18最小，即当n18时，Sn取得最小值3等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系？提示：对于形如SnAn2Bn的数列一定为等差数列，且公差为2A，记住这个结论
2、，如果已知数列的前n项和可以直接写出公差(1)当A0，B0时，Sn0是关于n的常数函数(此时a10，d0)；(2)当A0，B0时，SnBn是关于n的正比例函数(此时，a10，d0)；(3)当A0，B0时，SnAn2Bn是关于n的二次函数(此时d0)(4)若an是等差数列且d0，则Sn是关于n的不含常数项的二次函数研一题 例1在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值将“a120”改为“a10”其它条件不变，则n为何值时，Sn最小？解：S10S15，a11a12a13a14a150，即a130.又a10，当n12或13时，Sn取
3、最小值悟一法在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解通一类1在等差数列an中，a125，S17S9，求前n项和Sn的最大值法三：先求出d2(同法一)，由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a1250，a130，a140.故n13时，Sn有最大值169.研一题例2数列an的前n项和Sn33nn2.(1)求证：an是等差数列；(2)问an的
4、前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.自主解答(1)证明：当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项为an342n.所以an1an342(n1)(342n)2.故数列an是以32为首项，2为公差的等差数列(2)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0.所以当n17时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.当n18时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a
5、1a2a17(a18a19an)悟一法等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|若原等差数列an中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值，再分段求和通一类2在等差数列中，a1023，a2522，(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列|an|的前n项和研一题 例3 一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？悟一法解
6、决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型本题就是建立了等差数列这一数学模型，以方程为工具来解决问题的通一类3假设某市2011年新建住房400万 m2，其中有250万 m2是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万 m2，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将等于4 750万 m2?令25n2225n4 750，即n29n1900.而n是正整数，n10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.等差数
7、列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大解 法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Snan2bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大法四：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，由于a10，可知d0，所以a70，a80.所以当n7时，Sn最大 点评 求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an0成立的最大n即可这是因为：当an0时，SnSn1，即Sn单调递增；当an0，SnSn1，即Sn单调递减点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测
