1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关读教材填要点小问题大思维考点一考点二课堂强化课下检测2.1.1平面考点三1平面的概念、画法及表示概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是的画法常常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来表示方法一个希腊字母：如、等；两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点无限延展平行四边形2倍虚线 2点、线、面之间的位置关系及符号表示(1)直线在平面内的概念
2、：如果直线l上的都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面直线l.所有点经过(2)一些文字语言、数学符号与图形的对应关系：数学符号表示文字语言表达图形语言表达Al点A在直线l上Al点A在直线l外A点A在平面内A点A在平面外数学符号表示文字语言表达图形语言表达l直线l 在平面内l直线l在平面外lmA直线l，m相交于点Al平面、相交于直线l3平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在 l两点此平面内公理文字语言图形语言符号语言公理2过的三点，一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
3、有一条过该点的，且l，且Pl不在一条直线上有且只有公共直线PP1下列四个说法正确吗？一个平面长2 m，宽1 m；一个平面的面积是25 cm2；一条直线的长度比一个平面的长度大提示：根据平面的概念知，以上三个说法均不正确2一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部分？提示：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分，而两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分3“线段AB在平面内，直线AB不全在平面内”这一说法是否正确？为什么？提示：不正确线段AB在平面内，线段AB上的所有点都在平面内，线段AB上的A、B两点一定在平面内，直线AB在平面内(公理1)4公理2中的“有且只有
4、一个”的含义是什么？提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一 “有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面5三个公理各有什么作用？提示：(1)公理1是判断直线在平面内的依据，证明点在平面内的依据(2)公理2是确定一个平面的依据(3)公理3的作用是：判定两个平面相交；作两个平面的交线；证明点共线或线共点 例1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.自主解答(1)点A在平面内，点B不在平面内；(2)直线l在平面内，直线
5、m与平面相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如下图所示：点、线、面间的位置关系三种语言的转换方法:(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几点且在哪条直线或哪个平面上，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别1用文字语言和符号语言表示所示图解：文字语言：平面内两直线m和n相交于点A.符号语言：m，n，且mnA.例2(1)空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是()A1B2 C3 D
6、1或3 (2)已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c，l共面 自主解答(1)两两相交且共点的三条直线若在一个平面内，可确定一个平面，若不在一个平面内，每两条直线确定一个平面，共可确定3个平面答案 D (2)证明：ab，a和b确定一个平面.laA，lbB，A，B.故l.又ac，a和c确定一个平面.同理l.即l和a既在内又在内，且l与a相交，故、重合，即直线a，b，c，l共面 1公理2的推论:推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2确定平面的问题要利用公理2及其推论，要想确定的平面最多，
7、那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来 3证明点线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有:(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明，重合(3)反证法：先假设点线不共面，再由已知推出矛盾，得出点、线共面2已知：AB，BC，AC是ABC三边所在的直线求证：直线AB，BC，AC共面证明：法一：如图所示由已知ABBCB，所以过直线AB，BC有且只有一个平面，ABACA，BCACC，A，C，故AC，即直线AB，BC，AC共面法二：ABBCB，过直线AB，BC有且只有一个平面，又ABACA，
8、过直线AB，AC有且只有一个平面.C，C，AB，AB，又A，B，C为三角形的顶点，C直线AB.平面与重合，即直线AB，BC，AC共面 例3 如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR.求证：P，Q，R三点共线自主解答ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线 1证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上2证明三线共点常用的方法是
9、:(1)先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点(2)先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点3如图，l，梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB、CD、l共点(相交于一点)证明：如图，在梯形ABCD中，设ABCDE.AB，CD，E，E.又l，El，即AB、CD、l共点(相交于一点)一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是()A4B6 C7 D10 错解 在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面共有7个，误选C；或者是认为这5个点中任取3个点可确定一个平面，一共有10种取法，误选D.错因 都是把题中的条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中的一个，这是不符合题意的 正解根据题意最多确定平面分两类一类是直线和直线外三点的一个共可确定3个平面第二类，当三个点不共线时可确定一个平面，所以共有314个平面答案A
