1、 学科网(北京)股份有限公司2023-2024 年广东新高考高二(上)数学期末模拟卷 一选择题(共 8 小题,满分 40 分,每小题 5 分)1(5 分)已知直线的方程为10 xy+=,则该直线的倾斜角为()A6 B4 C 23 D 56 【答案】B 【详解】直线10 xy+=的斜率1k=,设其倾斜角为(0180)的面积为ab现学校附近停车场有一辆 车,车上有一个长为 7m 的储油罐,它的横截面外轮廓是一个椭圆,椭圆的长轴长为3m,短轴长为1.8m,学科网(北京)股份有限公司则该储油罐的容积约为(3.14)()A320m B330m C340m D350m 【答案】B 【详解】长为 7m 的储
2、油罐,它的横截面外轮廓是一个椭圆,椭圆的长轴长为3m,短轴长为1.8m,可得32a=,0.9b=,7h=,所以该储油罐的容积:333.140.9730()2abhm=故选:B 5(5 分)已知(2,3)A,(2,1)B,若直线l 经过点(0,1)P,且与线段 AB 有交点,则l 的斜率的取值范围为()A(,22,)+B 2,2 C(,11,)+D 1,1【答案】D 【详解】已知(2,3)A,(2,1)B,若直线l 经过点(0,1)P,且与线段 AB 有交点,如图所示:故1APk=,1BPk=,则 l 的斜率的取值范围为 1,1 故选:D 6(5 分)如图,在直三棱柱111ABCA B C中,1
3、AAACBC=,且 ACBC,已知 E 为 BC 的中点,则异面直线1AC 与1C E 所成角的余弦值为()学科网(北京)股份有限公司 A155 B105 C 3 1010 D1010 【答案】B 【详解】在直三棱柱111ABCA B C中,1AAACBC=,且 ACBC,以 C 为坐标原点,以CA 所在直线为 x 轴,CB 所在直线为 y 轴,1CC 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,设12AAACBC=,又 E 为 BC 的中点,则1(2A,0,2),(0C,0,0),1(0C,0,2),(0E,1,0),1(2AC=,0,2),1(0C E=,1,2),则异面直线1AC 与1C E
4、 所成角的余弦值为:111111|410|cos,|5|85AC C EAC C EA EC E=故选:B 7(5 分)已知数列na满足11a=,1(1)12022nnnnaa+=,记数列na的前 n 项和为nS,则2023(S=)A506 B759 C1011 D1012【答案】A 学科网(北京)股份有限公司【详解】由题意,可得2023122023Saaa=+1234520222023()()()aaaaaaa=+2420221(1)(1)(1)202220222022=+20222420221 1()2202220222022=+12101110121011+=1011 101211012
5、21011=506=故选:A 8(5 分)已知正方体1111ABCDA B C D的内切球的表面积为,P 是棱1BB 上一动点,当直线1C D 与平面11AC P 的夹角最大时,四面体11DAC P的体积为()A 14 B 13 C 16 D 19 【答案】A 【详解】建系如图,正方体1111ABCDA B C D的内切球的表面积为,易得正方体的棱长为 1,1(1A,0,0),1(0C,1,0),(1D,1,1),设(0P,0,)t,0t,1,1(1,0,1)C D=,11(1,1,0)C A=,1(1,0,)A Pt=,设平面11AC P 的法向量为(,)nx y z=,则11100n C
6、Axyn A Pxtz=+=,取(,1)nt t=,直线1C D 与平面11AC P 的夹角的正弦值为:211221|12(1)|cos,|221|221C D nttC D ntC D nt+=+,令1tu+=,0t,1,1u,2,222222(1)22143221224322tutuuuu+=+,令1vu=,1u,2,12v,1,学科网(北京)股份有限公司22212121432222342223()33vvvuu=+,12v,1,当23v=,即 1213t=+,即12t=时,直线1C D 与平面11AC P 的夹角的正弦值取得最大值,此时直线1C D 与平面11AC P 的夹角也最大,当直
7、线1C D 与平面11AC P 的夹角最大时,P 为棱1BB 的中点,此时平面11AC P 的法向量1 1(,1)2 2n=,又1(1,0,1)C D=,点 D 到平面11AC P 的距离为1113|32|cos,|232C D nC DC D nn=,又易知此时1152A PC P=,112AC=,11AC P 的面积为 151622424=,此时四面体11DAC P的体积 16313424=,故选:A 二多选题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分)9(5 分)设a,b,c 是
8、空间一个基底,则下列选项中正确的是()A若 ab,bc,则 ac B ac+,bc+,ca+一定能构成空间的一个基底 C对空间中的任一向量 p,总存在有序实数组(x,y,)z,使 pxaybzc=+D存在有序实数对,使得 cxayb=+学科网(北京)股份有限公司【答案】BC 【详解】对于 A,ab,bc,不能得出 ac,也可能是 a、c 相交不一定垂直,选项 A 错误;对于 B,假设向量 ab+,bc+,ca+共面,则()()abx bcy ca+=+,x、yR,化简得()(1)(1)xy cx by a+=+,所以 a、b、c 共面,这与已知矛盾,所以选项 B 正确;对于C,根据空间向量基本
9、定理知,对空间任一向量 p,总存在有序实数组(x,y,)z,使 pxaybzc=+,选项C 正确;对于 D,因为a,b,c 是空间一个基底,所以 a 与 b、c 不共面,选项 D 错误 故选:BC 10(5 分)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 m 千米,远地点 B(离地面最远的点)距地面 n 千米,并且 F、A、B 三点在同一直线上,地球半径约为 R 千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c,则()A acmR=+B acnR+=+C 2amn=+D()()bmR nR=+【答案】ABD
10、【详解】设椭圆的长半轴为 a,短半轴为b,半焦距为 c,则由题意可知:acRm=,acRn+=,可得 acmR=+,所以 A 正确;acRn+=+,所以 B 正确;可得2mnaR+=+,2nmc=则22222()()()()22mnnmbacRmR nR+=+=+则()()bmR nR=+所以 D 正确;故选:ABD 11(5 分)已知直线:50l xy+=,过直线上任意一点 M 作圆22:(3)4Cxy+=的两条切线,切点分别为A,B,则有()学科网(北京)股份有限公司A|MA 长度的最小值为 4 22 B不存在点 M 使得AMB为 60 C当|MCAB最小时,直线 AB 的方程为210 x
11、y=D若圆C 与 x 轴交点为 P,Q,则 MP MQ 的最小值为 28【答案】BD 【详解】由题知圆C 的圆心为(3,0),半径为2r=,对于 A:因为圆心(3,0)到直线:50l xy+=的距离为84 22d=,所以|4 2minMC=,所以22|2 7minminMAMCr=,对于 B:假设存在点 M 使得AMB为 60,如图,则30AMC=,故在 Rt AMC中,|24MCr=,由 A 知|4 24minMC=,故矛盾,即不存在点 M 使得AMB为 60,故 B 正确;对于C:由于 MCAB,故四边形 MACB 的面积为1|2|2|2MACBMACSMCABSMA rMA=,所以|4|
12、MCABMA=,故当|MCAB最小时,|MA 最小,由 A 选项知22|2 7minminMAMCr=,此时 MCl,/lAB,即直线 AB 的斜率为 1,由于直线210 xy=的斜率为 12,故C 错误;对于 D:由题知(1,0)P,(5,0)Q,设(,5)M x x+,(1MP MQx=,5)(5xx,2225)(5)(1)(5)24302(1)28 28xxxxxxx=+=+=+,当且仅当1x=时等号,故 MP MQ 的最小值为 28,故 D 正确 故选:BD 12(5 分)如图,棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中,E、F 分别为棱11A D、1AA 的中点,G 为面对
13、角线1B C 上一个动点,则()学科网(北京)股份有限公司A三棱锥1AEFG的体积为定值 B线段1B C 上存在点G,使平面/EFG平面1BDC C当134CGCB=时,直线 EG 与1BC 所成角的余弦值为 13 D三棱锥1AEFG的外接球半径的最大值为 3 22【答案】ACD 【详解】对于 A,1 11111 1 23 23VAEFGVGA EF=,所以 A 正确;对于 B,若存在 G 线段1B C,使平面/EFG平面1BDC G 线段1B C,因为平面11A B CD 交平面 EFG 与平面1BDC 分别为 NG 与 DM,于是/NGDM,G 应在1CB 的延长线上,所以 B 错;对于C
14、,以在为原点建立如图所示的空间直角坐标系,当134CGCB=时,则3(2G,2,3)2,(1E,0,2)(2B,2,0),1(0C,2,2),所 以1(2EG=,2,1)2,1(2BC=,0,2),所 以 cosEG=,所以直线 EG 与1BC 所成角的余弦值为 13,所以C 正确;对于 D,当G 在 C 点时,三棱锥1AEFG外接球半径最大,连接1A D 交 EF 于点 N,则 N 为 EF 的中点,因为三角形 AEF 为直角三角形,所以外接球的球心在过点 N 且垂直于面1A EF 的直线 NH 上,NH 与1B C 交于 H,设球心为O,如平面展开图,设半径1OCOAR=,因为11222A
15、 NEF=,12 2A D=,所以3 22CHDN=,所以2222112()2ONOAA NR=,22223 2()2OHOCCHR=,由2ONOH+=,可得222223 2()()222RR+=,解得3 22R=,所以 D 正确,故选:ACD 学科网(北京)股份有限公司 三填空题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分)13(5 分)抛物线2yx=的焦点坐标是 【答案】1(0,)4 【详解】抛物线2yx=,即2xy=,12p=,124p=,焦点坐标是1(0,)4,故答案为:1(0,)4 14(5 分)过点(2,3)P 作圆22:420E xyxy+=的两条切线,切点分别为 M,N 则直
16、线 MN 的方程为 学科网(北京)股份有限公司【答案】4470 xy=【详解】圆 E 的标准方程为22(2)(1)5xy+=,设切点1(M x,1)y,2(N x,2)y,则切点所在的切线方程为:11(2)(2)(1)(1)5xxyy+=,22(2)(2)(1)(1)5xxyy+=,因为点 P 在切线上,所以11(2)(22)(1)(31)5xy+=,即114(2)4(1)5xy+=,224(2)4(1)5xy+=,所以 M,N 在直线 4(2)4(1)5xy+=上,即 MN 的直线方程为 4470 xy=,故答案为:4470 xy=15(5 分)已知O 为坐标原点,直线:l ykxt=+与椭
17、圆2222:1(0)xyCabab+=交于 A,B 两点,P 为 AB的中点,直线OP 的斜率为0k 若03143kk,则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】1(2,6)3【详解】设1(A x,1)y,2(B x,2)y,0(P x,0)y,则1212yykxx=,1202xxx+=,1202yyy+=,所以0120012yyykxxx+=+,所以221202212yykkxx=,将 A,B 两点坐标代入椭圆方程可得:22112222222211xyabxyab+=+=,两式作差可得:22221212220 xxyyab+=,所以22212022212yybkkxxa=,则223143ba,所以
18、213134e,即21243e,所以 1623e,所以CP 长度的最大值为174 故答案为:174 四解答题(共 6 小题,满分 70 分)17(10 分)已知圆C 的圆心在 x 轴上,且经过坐标原点 O 和点(3,3)A 学科网(北京)股份有限公司(1)求圆C 的标准方程;(2)求过点(4,4)P与圆C 相切的直线方程【答案】(1)22(2)4xy+=;(2)4x=或3440 xy+=【详解】(1)根据题意,圆 C 的圆心C 在 x 轴上,设其坐标为(,0)a,圆C 的半径为 r,又由圆C 经过坐标原点O 和点(3,3)A|ra=,则有222(3)(03)ra=+,解可得2a=,则2r=,则
19、圆C 的标准方程为22(2)4xy+=,(2)根据题意,圆C 的标准方程为22(2)4xy+=,若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为4x=,与圆C 相切,符合题意;若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为4(4)yk x=,即440kxyk+=,若直线l 与圆C 相切,且有2|244|21kkk+=+,解可得:34k=,又由直线经过点(4,4),则直线l 的方程为3440 xy+=故直线l 的方程为4x=或3440 xy+=18(12 分)已知数列na为等差数列,nS 是其前 n 项和,且315S=,1516aa+=数列 nb中,11b=,112nnbb+=,(*)nN(1)分别求数列n
20、a,nb的通项公式;(2)求数列nnab+的前 n 项和nT 【答案】(1)31nan=;11()2nnb=;(2)nT21312()22nnn+=+【详解】(1)设等差数列的公差为 d,因为312315Saaa=+=,1516aa+=所以2315a=,3216a=,所以25a=,38a=,所以公差323daa=,所以首项122aad=,所以数列na的通项公式为1(1)23(1)31naandnn=+=+=,数列 nb中,11b=,11(*)2nnbb nN+=,学科网(北京)股份有限公司所以数列 nb是首项为 1,公比为 12 的等比数列,所以11()2nnb=(2)数列nnab+的前 n
21、项和1212nnnTaaabbb=+11()(231)21212nnn+=+21312()22nnn+=+19(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,AD 平面 BCD,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点Q 在线段 AC 上,且3AQQC=(1)求证:/PQ平面 BCD;(2)若4DADBDC=,90BDC=,求 AC 与平面 BQM 所成角的余弦值 【答案】(1)见解析;(2)417【详解】(1)证明:过 P 作/PSMD,交 BD 于 S,过Q 作/QRMD,交CD 于 R,连接 RS,/PSMD,P 是 BM 的中点,学科网(北京)股份有限公司S是 BD 的中点,且12PS
22、MD=,/QRMD,3AQQC=,M 是 AD 的中点,1142QRADMD=,/QRPS,且QRPS=,四边形 PQRS 为平行四边形,/PQSR,PQ/平面 BCD,SR 平面 BCD,/PQ平面 BCD (2)以 D 为坐标原点,DB,DC,DA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则(0A,0,4),(4B,0,0),(0C,4,0),(2P,0,1),(0Q,3,1),则(4BM=,0,2),(0MQ=,3,1),(0AC=,4,4),设平面 BQM 的一个法向量为(nx=,y,)z,则42030n BMxzn MQyz=+=,取2y=,得(3n=,2,6),
23、设 AC 与平面 BQM 所成角为,则|2 7sin7|AC nACn=,则 AC 与平面 BQM 所成角的余弦值为:22 741cos1()77=20(12 分)记直线:l ykx=为曲线22:1(1,0)4yE xxy=的渐近线若1(1,0)A,过1A 作 x 轴的垂线交l 于点1B,过1B 作 y 轴的垂线交 E 于点2A,再过2A 作 x 轴的垂线交l 于点2B 依此规律下去,得到点列1A,2A,nA 和点列1B,2B,nB,n 为正整数记nB 的横坐标为na,|nnOAb=(1)求数列 nb的通项公式;(2)证明:221(8)(252)(2)nkkkbannn n=+【答案】(1)5
24、4nbn=;(2)见解析【详解】(1)由直线:l ykx=为曲线22:1(1,0)4yE xxy=的渐近线,可得直线l 的方程为2yx=,可得1(1,0)A,1(1,2)B,2(2A,2),2(2B,2 2),3(3A,2 2),3(3B,2 3),学科网(北京)股份有限公司4(2A,2 3),4(2,4)B,则11a=,22a=,33a=,424a=,nan=;11b=,26b=,311b=,416b=,54nbn=;(2)证明:运用数学归纳法证明 2(8)(54)kkbakk+=+,当2n=时,原不等式的左边914 2=+,右边20 2=,由96 2+,当1nk=时,2914 2.(54)
25、(59)1(252)(59)1kkkkkkkkk+,要证原不等式成立,即证22(252)(59)12(1)5(1)21kkkkkkkk+,上式化为22(252)(24)1kkkkkk+,即为(21)(2)2(2)1kkkk kk+,即为(21)21kkk k+,两边平方可得32324444kkkkk+,该不等式显然成立,所以1nk=+时,原不等式也成立 所以221(8)(252)(2)nkkkbannn n=+21(12 分)已知圆22:4xy+=上的动点 M 在 x 轴上的投影为 N,点C 满足22CNMN=(1)求动点C 的轨迹方程C;(2)过点(1,0)P的直线l 与 C 交于 A,B
26、两个不同点,求 OAB面积的最大值【答案】(1)22142xy+=;(2)62 【详解】(1)设(,)C x y,动点(,)M m n,由22CNMN=,可得 mx=,2ny=,(,)M m n在圆22:4xy+=上,224mn+=,2224xy+=,动点C 的轨迹方程为22142xy+=;(2)由题意,设直线l 的方程为 1,1(A x,1)y,2(B x,2)y,由22124xmyxy=+=,消去 x 得,即22(2)230mymy+=,所以12222myym+=+,12232y ym=+,学科网(北京)股份有限公司所以2222221212222232 46|1()41()4()1222m
27、mABmyyy ymmmmm+=+=+=+,而 O 到 AB 的距离2|1|1dm=+,所以222222112 46|1|46|122221AOBmmSAB dmmmm+=+=+,设2466mt+=,则221(6)4mt=,所以211112(6)442AOBtSttt=+,142tt+在 6,)+上单调递增,所以 AOB面积的最大值为62,此时0m=22(12 分)如图,焦点为 F 的抛物线22(0)ypx p=过点(1Q,)(0)m m,且|2QF=(1)求 p 的值;(2)过点 Q 作两条直线 1l,2l 分别交抛物线于1(A x,1)y,2(B x,2)y两点,直线 1l,2l 分别交
28、x 轴于 C,D 两点,若QCDQDC=,证明:12yy+为定值 【答案】(1)2p=;(2)见解析【详解】(1)抛物线的准线方程为2px=,由抛物线的定义得|122pQF=+=,得2p=;(2)由(1)可知,抛物线的方程为24yx=,将点Q 的坐标代入抛物线的方程得24 14m=,0m,得2m=,所以,点Q 的坐标为(1,2)QCDQDC=,所以,直线 AQ 和 BQ 的斜率互为相反数 学科网(北京)股份有限公司则12122211AQBQyykkxx+=+121222221212224(2)4(2)441144yyyyyyyy=+=+1244022yy=+=+所以12220yy+=,因此124yy+=(定值)