1、2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P32A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，则A或B站在边上的概率为（）ABCD3若双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=5，则|PF2|等于（）A1或11B1C11D
2、134若P（AB）=P（A）+P（B）=1，事件A与事件B的关系是（）A互斥不对立B对立不互斥C互斥且对立D以上答案都不对5如程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，15，则输出的a=（）A0B2C3D146将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）Ae1=e2Be1e2Ce1e2De1，e2之间的大小不确定7执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为（）ABCD8下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）
3、的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y2.5m44.5A4B3.15C4.5D39将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）ABCD10已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线11坐标平面内到点A（1，0），B（1，2）及到直线x=1的距离都相等的点的个数为（）A1B2C3D无数个12设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆 （x5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线
4、l有（）条A2B3C4D无数条二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13已知双曲线的一个焦点为F（3，0），且双曲线的渐进线与圆（x3）2+y2=1相切，则该双曲线的标准方程为_.14如果执行如图的程序框图，那么输出的值是_15某单位有840名员工，现采用系统抽样方法抽取21人作问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间481，720的人数为_16过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AFBF，且该椭圆的离心率，则的取值范围为_三、解答题：（本大题
5、共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17眼下网购成为一种重要的购物方式，某班同学对2015年11月11日在淘宝店网购情况进行了调查，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表：组号网购金额（单位：千元）频数频率1（0，0.530.052（0.5，1xp3（1，1.590.154（1.5，2150.255（2，2.5180.306（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2（）试确定x，y，p，q的值，并将频率分布直方图补充
6、完整（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中60名网友的购物金额的平均数18袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？19已知曲线上的点P到点F（0，1）的距离比它到x轴的距离多1（）求曲线的方程；（）记曲线在x轴上方的部分为曲线C，过点M（0，2）任作一直线与曲线C相交于A、B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点），求点D的轨迹202015年12月
7、10日开始，武汉淹没在白色雾霾中，PM2.5浓度在200微克300微克/立方米的范围，空气质量维持重度污染某兴趣小组欲研究武昌区PM2.5浓度大小与患鼻炎人数多少之前的关系，他们分别到气象局与该地区某医院抄录了12月10日至15日的武昌区PM2.5浓度大小与该地区因患鼻炎而就诊的人数，整理得到如下资料：日期12月10日12月11日12月12日12月13日12月14日12月15日PM2.5浓度超过200的部分为x（微克/立方米）1011131285就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行
8、实验（）若选取的是10号与15号的两组数据，请根据11至14号的数据，求出y关于x的线性回归方程；附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性方程是理想的，该问该小组所得线性回归方程是否理想？21已知抛物线y2=4x，点Q（a，0）是x轴上的一定点，过点Q作直线l与抛物线相交于A、B两点（）若a=1，点F为抛物线的焦点，且|AF|=2|BF|，求直线l的方程；（）若a0，试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l变动时，总有OPA=OPB（
9、O为坐标原点）？若存在，求出点P的坐标，否则，说明理由22已知椭圆的长轴长为4，离心率为（）求椭圆C的方程；（）P为椭圆上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆C于A，B两点，射线PO交椭圆C于点Q（O为坐标原点）（i）是否存在常数，使得SABQ=SABO恒成立？若存在，求出的值，否则，请说明理由；（ii）求ABQ面积的最大值，并写出取最大值时k与m的等量关系式2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本
10、，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D2A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，则A或B站在边上的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，先求出基本
11、事件总数，再由对立事件概率计算公式能求出A或B站在边上的概率【解答】解：A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，基本事件总数n=24，A或B站在边上的概率p=1=故选：C3若双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=5，则|PF2|等于（）A1或11B1C11D13【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a=3，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=6，代入已知条件解方程即可得到所求值【解答】解：双曲线的a=3，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=6，由|PF1|=5，可得|5|PF2|=6，解得|PF2|=11（1舍去）故选：C4若P（AB）=P
12、（A）+P（B）=1，事件A与事件B的关系是（）A互斥不对立B对立不互斥C互斥且对立D以上答案都不对【考点】互斥事件与对立事件【分析】通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案【解答】解：若是在同一试验下，由P（AB）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（AB）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的故选D5如程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，15，则输出的a=（）A0B2C3D14【考点】程序框图【分析】由循环结
13、构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=12，b=15，ab，则b变为1512=3，由ab，则a变为123=9，由ab，则a变为93=6，由ab，则a变为63=3，由a=b=3，则输出的a=3故选：C6将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（ab）同时增加m（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）Ae1=e2Be1e2Ce1e2De1，e2之间的大小不确定【考点】双曲线的简单性质【分析】由ab，可得，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到离心率的大小关系【解答】解：由ab，=0，可得，由e1=，e2=，可得e1e2故选
14、：B7执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为（）ABCD【考点】程序框图【分析】根据框图的流程判断输出0时，a所在数集的长度，再判断数集1，3的长度，利用几何概型的概率公式计算【解答】解：由程序框图知：输出0时，a1，），数集的长度为，而数集1，3的长度为2，根据几何概型的概率公式得：输出0的概率为=故选：A8下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y2.5m44.5A4B3.15C4.5D3【考点】线性回归方程【分析】根据表格中所给的
15、数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可【解答】解：根据所给的表格可以求出=4.5， =这组数据的样本中心点在线性回归直线上，=0.74.5+0.35，m=3，故选：D9将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】先设木棒其中两段的长度分别为x、y，分别表示出木棒随机地折成3段的x，y的约束条件和3段构成三角形的约束条件，再画出约束条件表示的平面区域，利用面积测度即可求出构成三角形的概率【解答】解：设三段长分别为x，y，1xy，则总样本空间为，其面积为
16、，能构成三角形的事件的空间为，其面积为，则所求概率为故选C10已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【考点】轨迹方程【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（a，0）、B（a，0）；因为=，所以y2=（x+a）（ax），即x2+y2=a2，当=1时，轨迹是圆当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程当=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的
17、方程故选D11坐标平面内到点A（1，0），B（1，2）及到直线x=1的距离都相等的点的个数为（）A1B2C3D无数个【考点】点到直线的距离公式【分析】先设出点的坐标，根据点到直线的距离公式以及两点间的距离公式计算即可【解答】解：设满足条件的点的坐标是（x，y），则，解得：x=，y=1，故满足条件的点的个数是1个，故选：A12设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆 （x5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（）条A2B3C4D无数条【考点】抛物线的简单性质【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；斜率不存在时，直线l有2条，即可得出
18、结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3圆心（5，0）到直线的距离为23，直线与圆有两个交点，直线l有两条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13已知双曲线的一个焦点为F（3，0），且双曲线的渐进线与圆（x3）
19、2+y2=1相切，则该双曲线的标准方程为y2=1.【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，可得c=3b=3，由a，b，c的关系可得a，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：由题意可得c=3，双曲线的渐近线方程为y=x，由双曲线的渐近线与圆（x3）2+y2=1相切，可得d=1，可得3b=c=3，即b=1，a=2可得双曲线的方程为y2=1故答案为：y2=114如果执行如图的程序框图，那么输出的值是0【考点】程序框图【分析】由程序框图可得算法的功能是求S=cos+cos+cos+cos的值，根据条件判断跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值【解
20、答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+cos+cos的值，跳出循环的n值为2016，输出S=cos+cos+cos+cos，又cos+cos+cos+cos+cos+cos=0，由2016=3366，可得：S=cos+cos+cos+cos=0故答案为：015某单位有840名员工，现采用系统抽样方法抽取21人作问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的21人中，编号落入区间481，720的人数为6【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取21人，那么从40人抽取1人从而得出从编号481720共240人中抽取的人数即可【解答】解：使用系统抽样方法
21、，从840人中抽取21人，即从40人抽取1人从编号1480的人中，恰好抽取=12人，接着从编号481720共240人中抽取=6人故答案为：616过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AFBF，且该椭圆的离心率，则的取值范围为【考点】椭圆的简单性质【分析】设右焦点F，连结AF，BF，得四边形AFBF是正方形，推导出=，由此根据该椭圆的离心率，能求出的取值范围【解答】解：设右焦点F，连结AF，BF，得四边形AFBF是正方形，AF+AF=2a，AF+BF=2a，OF=c，AB=2c，BAF=，AF=2ccos，BF=2csin，2csin+2ccos=2a，=，该椭圆的
22、离心率，0，），的取值范围是，故答案为：，三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17眼下网购成为一种重要的购物方式，某班同学对2015年11月11日在淘宝店网购情况进行了调查，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表：组号网购金额（单位：千元）频数频率1（0，0.530.052（0.5，1xp3（1，1.590.154（1.5，2150.255（2，2.5180.306（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰
23、好为3：2（）试确定x，y，p，q的值，并将频率分布直方图补充完整（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中60名网友的购物金额的平均数【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】（）根据频数和与频数的计算问题，求出x与y的值，再计算p与q的值；求出小组（0.5，1与（2.5，3的，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；（）根据频率分布直方图，计算平均数即可【解答】解：（）（1）由题知，解得x=9，y=6，p=0.15，q=0.10；（2）小组（0.5，1的=0.3，小组（2.5，3的=0.2；纵坐标分别为0.3和0.2，补充完整图形，如图所示；（）根据频率分
24、布直方图，得；0.250.05+0.750.15+1.250.15+1.750.25+2.250.30+2.750.10=1.7，估计平均数为1.7千元18袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？（）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、
25、黄球、绿球的概率（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率【解答】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得，解得从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，所以所求概率为，则得到的
26、两个球颜色不相同的概率是19已知曲线上的点P到点F（0，1）的距离比它到x轴的距离多1（）求曲线的方程；（）记曲线在x轴上方的部分为曲线C，过点M（0，2）任作一直线与曲线C相交于A、B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点），求点D的轨迹【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）设P（x，y）为曲线上任意一点，由题意得到，由此能求出点P的轨迹的方程（）曲线C的方程：x2=4y（x0），设AB方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x24kx8=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出D点的轨迹方程【解答】解：（）设P（x，y）为曲线上任意一点，则，化简整理得x
27、2=2（|y|+y）故点P的轨迹的方程为（）依题意可知曲线C的方程：x2=4y（x0），设AB方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x24kx8=0设A（x1，y1）、B（x2，y2）、，则有x1x2=8，直线AO的方程为，BD的方程为x=x2，解得交点D的坐标为由x1x2=8及，有因此D点的轨迹是直线y=2（x0）202015年12月10日开始，武汉淹没在白色雾霾中，PM2.5浓度在200微克300微克/立方米的范围，空气质量维持重度污染某兴趣小组欲研究武昌区PM2.5浓度大小与患鼻炎人数多少之前的关系，他们分别到气象局与该地区某医院抄录了12月10日至15日的武昌区PM2.5浓度大小与该地
28、区因患鼻炎而就诊的人数，整理得到如下资料：日期12月10日12月11日12月12日12月13日12月14日12月15日PM2.5浓度超过200的部分为x（微克/立方米）1011131285就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行实验（）若选取的是10号与15号的两组数据，请根据11至14号的数据，求出y关于x的线性回归方程；附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数
29、据的误差均不超过2人，则认为得到的线性方程是理想的，该问该小组所得线性回归方程是否理想？【考点】线性回归方程【分析】（1）求出，代入回归系数公式求出，得出回归方程；（2）用回归方程检验10日和15日的数据，观察真实值与估计值的误差是否符合条件【解答】解：（1）=（11+13+12+8）=11. =（25+29+26+16）=24， =01+25+12+（3）（8）=36. =0+4+1+9=14=， =24=所以y关于x的线性回归方程为=x（2）当x=10时， =，|22|=2，当x=5时， =，|12|=2，所以该小组所得的线性回归方程不是理想的21已知抛物线y2=4x，点Q（a，0）是x轴
30、上的一定点，过点Q作直线l与抛物线相交于A、B两点（）若a=1，点F为抛物线的焦点，且|AF|=2|BF|，求直线l的方程；（）若a0，试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l变动时，总有OPA=OPB（O为坐标原点）？若存在，求出点P的坐标，否则，说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（）过A、B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，求出B的坐标，即可求直线l的方程（）将x=ty+a代入C得方程整理得y24ty4a=0，当b=a时，有k1+k2=0，则直线PA的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，故OPA=OPB【解答】解：（）过A、B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由|AF|=2|BF|可得
31、|AA1|=2|BB1|，则点B为QA的中点，连接OB，故2|OB|=|FA|OB|=|FB|，B点的横坐标为，代抛物线的方程中得B的纵坐标为，由和P（1，0）知直线的方程为此时该直线与抛物线有两个交点，符合题意（）存在符合题意的点P（a，0），证明如下：设直线l的方程为x=ty+a，设P（b，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PB的斜率分别为k1，k2将x=ty+a代入C得方程整理得y24ty4a=0y1+y2=4t，y1y2=4a=当b=a时，有k1+k2=0，则直线PA的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，故OPA=OPB，所以P（a，0）符合题意22已知椭圆的长轴长为4，离
32、心率为（）求椭圆C的方程；（）P为椭圆上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆C于A，B两点，射线PO交椭圆C于点Q（O为坐标原点）（i）是否存在常数，使得SABQ=SABO恒成立？若存在，求出的值，否则，请说明理由；（ii）求ABQ面积的最大值，并写出取最大值时k与m的等量关系式【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知得，由此能求出椭圆C的方程（II）（i）设P（x0，y0），设|OQ|=n|OP|，由题意知Q（nx0，ny0），从而得到，存在常数满足题意（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）将y=kx+m代入椭圆C的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，由此利用根的判
33、别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出ABQ面积的最大值【解答】解：（）椭圆的长轴长为4，离心率为，得，椭圆C的方程为（II）（i）设P（x0，y0），设|OQ|=n|OP|，由题意知Q（nx0，ny0），又，即，即故，存在常数满足题意（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）将y=kx+m代入椭圆C的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0由=8（4k2m2+2）0，得m22+4k2则有点O到直线AB的距离为，OAB的面积=，再将y=kx+m代入椭圆中，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由0，可得m21+2k2令，由，知0t1，故，当且仅当t=1，即m2=1+2k2时取得最大值，由（i）知，ABQ面积为，ABQ面积的最大值为，此时m2=1+2k22016年9月16日
