1、3.3 几 何 概 型 3.3.1 几 何 概 型 必备知识自主学习 导思1.什么是几何概型？2.几何概型的概率计算公式是什么？几何概型(1)定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)特点 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.每个基本事件出现的可能性_.(3)几何概型的概率公式P(A)=_.长度 相等 A构成事件 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）【思考】(1)你是怎样理解“长度”一词的？提示：公式中“长度”的理解：公式中的“长度”不一定是实际意义的长度.有些书上也
2、叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积.(2)几何概型与古典概型有何异同？提示：相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)几何概型的基本事件有无数个，反之基本事件是无数个的随机事件一定属于几何概型.()(2)几何概型中的基本事件可能是一个数值、一个点、一个角等.()(3)几何概型的概率
3、与构成事件的区域形状无关.()(4)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0，1)内.()2.在线段0，3上任投一点，则此点坐标不大于1的概率为()A.B.C.D.1【解析】选B.坐标不大于1的区间为0，1，长度为1，0，3区间长度为3，故所求概率为 .131214133.(教材二次开发：例题改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.42862ABCD11S2P(A)S2 14半圆长方形关键能力合作学习 类型一 与长度(角度)有关的几何概型(数学运算、直观想象)【题组训练】1.如图A，B两
4、盏路灯之间的距离是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，则A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率为_.2.如图，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_.3.如图所示，在ABC中，B=60，C=45，高AD=，在BAC内作射线 AM交BC于点M，则BM1的概率为_.3【解题策略】求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).【补偿训练】某汽车站每
5、隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.【解析】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长 度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示.记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生.所以 ，即该乘客等车时间超 过10 min的概率是 .112TT51P(A)TT153的长度的长度13类型二 与面积有关的几何概型(直观想象，数学运算)角度1 几何图形面积问题 【典例】(1)九章算术是我国古代的数学名著，书中把
6、三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十 步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶 树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.B.C.D.4152151525(2)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形.如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的.若向正方形内随机地抛10 000颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米粒的颗粒大约为()A.3 750 B.2 500 C
7、.1 875 D.1 250【思路导引】(1)转化为面积比问题解决.(2)转化为面积比问题解决.角度2 约会问题 【典例】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30 7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答).【思路导引】构造两个变量，转化为平面直角坐标系中的面积问题解决.【解题策略】求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【题组训练】1.1876年4月1日，加菲尔
8、德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设BEC=15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是()3322A.B.C.D.24322.古代人常常会研究“最大限度”问题，如图是一个正三角形内最大限度地可 以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中(阴影部分是三
9、个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形 ABC的三边分别相切)，则质点落在阴影部分的概率是()A.B.C.D.(2 33)22 334(2 33)42 332【解析】选D.设“质点落在阴影部分”为事件M.如图所示：设圆的半径为r，正三角形ABC的边长为a.因为PBO1=30，所以 =tan 30=，解得BP=r.同理，CQ=r.又因为PQ=O1O2=2r，所以BP+CQ+PQ=r+r+2r=(2 +2)r=BC=a，所以由几 何概型得，质点落在阴影部分的概率是 rBP3333333222 23 r3 r(2 33)P(M).2133aa(2 32)r224类型三 与体积有关的几
10、何概型(直观想象，数学运算)【典例】已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试 求点M到底面的距离小于 的概率.步骤 内容 理解 题意 条件：正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M.结论：求点M到底面的距离小于 的概率.思路 探求 作出图形，根据图形把概率问题转化为三棱锥的体积的比的问题.h2h2步骤 内容 书写 表达 如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为 SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小 于 .h2步骤 内容 书写 表达 设ABC的面积为S，由AB
11、CA1B1C1，且相似比为2，得 A1B1C1的面积为 .由题意，知区域D(三棱锥S-ABC)的体积为 Sh，区域d(三棱台 ABC-A1B1C1)的体积为 所以点M到底面的距离小于 的概率为P=.S41311 S h17ShSh.33 4 238h278步骤 内容 题后 反思 解决与体积有关的几何概型的关键点是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【解题策略】关于与体积有关的几何概型(1)首先要明确所求事件构成的几何体的类型，如正方体、球等，再根据相应的公式求体积.(2)注意几何体的结构特征，一是可能是几何体的一部分，二是需不需要对几何体进行组合、割补
12、.【题组训练】在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC 的体积大于 的概率是_.v3【补偿训练】如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在 三棱锥A-A1BD内的概率为_.课堂检测素养达标 1.下列关于几何概型的说法中，错误的是()A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.2.设A(0，0)，B(4，0)，在线段AB上任投
13、一点P，则|PA|1的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.满足|PA|1的区间长度为1，故所求其概率为 .13121514143.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴 影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】选A.中奖的概率依次为P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=.283813264.(教材二次开发：练习改编)在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出 3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_.【解析】由几何概型知 .答案：3P1 00031 0005.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
