1、数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知向量，则下列向量中与同向的单位向量的坐标是（）A.B.C.D.2.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.3.已知在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知直线，若，则实数（）A.或1B.0或1C.1D.5.如图，在正四棱柱中，则点到平面的距离为（）A.B. C.D.6.已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.7.无论取何实数，直线恒过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形
2、面积为6，则直线的方程为（）A.B.C.或D.或二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分）9.已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（）A.B.C.D.10.下列关于直线的方程，叙述不正确的是（）A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过定点的直线都可以用方程表示11.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于B.在轴上的截距等于C.与直线垂直D.上存在与原点距离等于1的点12.如图
3、，在直三棱柱中，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（）A.B. C.D.二面角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线与垂直，则.14.已知点到直线的距离为，则.15.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知向量，.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.18.（12分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上
4、的高所在直线的方程.19. （12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的中点，.（1）求证：直线平面.（2）求直线与平面夹角的正弦值.20.（12分）已知直线.（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若直线与轴所成的角为，求的值.21.（12分）已知在平行六面体中，且.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.D1C1A1B1ABCD22.（12分）如图，在四面体中，面，、分别为、边的中点，为边上任意一点.（1）证明：面.（2）当二面角的平面角为时，求的长度.参考答案一、选择题1.B2.A3.B4.D5.B6.B 7.A8.D二、多项选择题9.ABC10.ACD11.CD1
5、2.BD三、填空题13.14. 15.16.四、解答题17.解：（1）由题知，那么当时，可得.4分（2）由（1）知，那么当向量与所成角为锐角时，即得，8分又当时，可得实数的范围为.10分18.解：（1）设的直线方程为.将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式为.6分（2）因为为直线的高，所以，故，8分设的直线方程为，将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为.12分19.解：（1）由题知，那么，可得，2分由平面，可得，那么直线平面.4分（2）由（1）知，那么分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，6分如图，可得，则，.8分设平面的一个法向量为，那么，即得，得，令，得，10分那么，11分所以直线与平面夹角的正弦值为.12分20.解：（1）由题意令，2分令，4分由，得或综上，的值为或6分（2）直线与轴所成的角为，直线与轴所成的角为或，即直线的倾斜角为或，直线的斜率存在，又直线的斜率为，或，或.12分21.解：（1）由题可知，2分那么，那么的长为.6分（2）由题知，7分可得，8分，10分.12分22.解：（1）证明：因为、分别为、的中点，所以，.2分又因为，所以面面.3分又因为，所以面.4分（2）设，因为，所以，.在底面作直线垂直于，如图建立空间直角坐标系，6分则，.设面的法向量，所以，令，所以.10分又知面的法向量，11分所以，.综上可知.12分
