1、空间几何体的结构特征及表面积与体积学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()A. B. C. D. 2. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高设球
2、面半径为 R，球冠的高为 h，则球冠的表面积为已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为5，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为()A. B. C. D. 3. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上.此模型的体积为()A. B. C. D. 4. 在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，则四面体A
3、BCD内切球的半径为()A. B. C. D. 5. 已知长方体中，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）6. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，则下列结论中正确的是()A. 此圆锥的体积为B. 设A为圆锥底面圆周上一点，P为圆锥的顶点，E为线段PA的中点，从点A引一条曲线段绕圆锥侧面到点E，则曲线段长度的最小值为C. 此圆锥的内切球的表面积为D. 此圆锥的内接圆柱的半径为时，内接圆柱的体积最大7. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分
4、别为，母线AB长为2，E为母线AB的中点，则下列结论正确的是()A. 圆台母线AB与底面所成角为B. 圆台的侧面积为C. 圆台外接球半径为2D. 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为58. 已知正方体的棱长为如图所示，点M为线段含端点上的动点，由点A，M确定的平面为，则下列说法正确的是()A. 平面截正方体的截面始终为四边形B. 点M运动过程中，三棱锥的体积为定值C. 平面截正方体的截面面积的最大值为D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围为9. 小淘气找到了一支粉笔，测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台正六棱台：棱台的上下底面均为正六边形，所有侧棱延长后交于一点，该点在棱台上、下底面的投影
5、为分别为上、下底面的中心，棱台的高为若，单位：，不考虑其它因素，则A. 粉笔的体积为B. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥，则该棱锥的体积为C. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为D. 若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球，则该球的半径为3 mm三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点B的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为_.11. 为边长为2cm的正三角形，则其水平放置斜二测画法的直观图的面积为_，其直观图的周长为_.12. 已知三棱锥的棱AP、AB、AC两两互相垂直，以顶点P为球心，
6、4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于_.13. 已知正方体的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，如图，则四棱锥的体积为_.14. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥第二步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG，若，则的值为_15. 在棱长为2的正方体中，E为CD中点
7、，O为侧面的中心，平面，则_.四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 本小题分如图，在正三棱柱容器中，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：求该最短路线的长；用含a的表达式表示；若该正三棱柱容器外接球的表面积为，求能放入该容器的最大的球的体积17. 本小题分如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面蛋皮厚度忽略不计这种蛋筒的表面积；若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？精确到18. 本小题分如图圆台，在轴截面ABCD中，
8、且求圆台的体积；求沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离；答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查棱柱结构特征和空间想象能力，考查球的表面积公式，求内切球与外接球的半径是解决本题的关键，属于基础题设正六棱柱底面正六角形的边长为a，分别求出外接球的半径和内切球半径，即可求出内切球与外接球表面积之比【解答】解：设正六棱柱底面正六角形的边长为a，当球内切于正六棱柱时，球的半径等于正六棱柱的底面正六角形的内切圆半径，故正六棱柱的高为，当球外接正六棱柱时，球心是上下底面中心连线段的中点，且球心与正六棱柱两个底面正六角形构成两个正六棱锥，则，外接球与内切球半径之比为：外接球与内切球表面积之比为
9、：故本题选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查球及其结构特征，属于中档题.若O为球心，P为卫星位置，故，计算得出，即可求出的值.【解答】解：如下截面图，若O为球心，P为卫星位置，故，所以，所以，即，所以故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单组合体及其结构特征和圆柱的体积，属于一般题.利用圆柱的外接结构特征得内、外层圆柱的高，再利用圆柱的体积，计算得结论.【解答】解：作该几何体的轴截图如下：圆O是直径为20cm的球的轴截图，矩形ABCD是内层圆柱的轴截图，是其上底面圆心，矩形EFGH是外层圆柱的轴截图，是其上底面圆心，则，因此在中，在中，所以，因此该几何体外层圆柱的高为，所以该几何体
10、的体积为故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积与表面积、简单组合体及其结构特征，属于中档题.利用三四面体的体积，即可求出结果.【解答】解：如图：因为BA，BC，BD两两垂直，所以，取CD的中点E，连接AE，则，所以，所以的面积为，所以四面体ABCD的表面积，又四面体ABCD的体积，所以四面体ABCD内切球的半径故选5.【答案】A【解析】【分析】分别取，CD的中点H，E，F，连接相关线段，则可得梯形即为所求截面，求出其面积可得答案本题考查了空间几何体的截面问题，属于中档题【解答】解：设E为的中点，F为CD的中点，连接，EF，AF，则又，所以所以E，F，A，四点共面，四边形为过点的
11、平面截长方体所得的一个截面四边形设H为的中点，连接MH，CH，因为M为的中点，所以，所以四边形CDMH为平行四边形，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，连接，FN，因为N为的中点，F为CD的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面所以平面为过且与DM，都平行的平面，则四边形为过点的平面截长方体所得截面四边形，又，所以四边形为等腰梯形，在等腰梯形中，分别过点E，F作，垂足分别为P，Q，则，所以，所以截面的面积为，故选：6.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了旋转体圆柱、圆锥、圆台、球及其结构特征和几何体的表面积以及体积，利用导数研究
12、最值，是中档题.根据题意逐一判定即可.【解答】解：，A错误.设内切球半径为，C正确.设内切圆柱半径为x，则，或0，V在上单调递增，在单调递减，内切圆柱半径为时，体积取最大值，D正确.，B正确，故选：7.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查圆台的结构特征，属于较难题.根据圆台母线AB与底面所成的角即可判断A；利用公式求出圆台的侧面积判断B；分析出外接球的球心恰在圆台下底面的圆的圆心处可判断C；由圆台补成圆锥，画出侧面展开图，求出最短距离判断【解答】解：圆台母线AB与底面所成的角即，易得，故为，选项A正确；圆台的侧面积，选项B错误；设外接球的球心为O，半径为R，若圆台的两个底面在球心O的同一侧如
13、图，则，解得所以外接球的球心恰在圆台下底面的圆的圆心处，圆台外接球半径为2，故选项C正确；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角为，在如图所示的侧面展开图中连接CE，可得，则，所以沿着该圆台侧面，从点C到E的最短路径长为5，故D正确故本题选：8.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，以及三棱锥的体积公式，球的表面积公式，属于中档题.A选项的截面有可能是正三角形；B选项根据底面积和高都不变可以判断；C选项分三种情况分别求出截面面积，找到最大值；D选项求出外接球半径即可.【解答】解：当点M在C点处时，平面截正方体的截面是等边三角形，A选项错误；点
14、M运动过程中，点M到平面的距离为定值，且的面积是定值，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，B选项正确；当M在点时，平面截正方体的截面是矩形，此时截面面积为，当M在点C时，平面截正方体的截面是等边三角形，此时截面面积为，当M在点C与点之间时，平面截正方体的截面是等腰梯形，设平面平面，则，等腰梯形的高，等腰梯形的面积，令，显然在上单调递增，则，综上所述，截面面积最大值为，C选项正确；取中点O，取平面的中心，连接，则三棱锥的外接球的球心K在上，设，则有，解得，所以三棱锥的外接球表面积，D选项正确，故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查棱锥，棱台，圆锥的相关计算公式，属于较难题.根据几何体的结构特
15、征结合棱锥，棱台，圆锥的相关计算公式逐项判断即可.【解答】解：对选项棱台上底面面积，由棱台体积公式，故，选项A错误;对选项体积最大的正六棱锥底面为ABCDEF，高为，故底面积，由棱锥体积公式，故，选项B正确;对选项体积最大的圆锥底面为正六边形ABCDEF的内切圆，高为，此时底面半径为，圆锥的母线长，故圆锥侧面积，选项C正确;对选项先将正六棱台侧棱建长交于一点P得到正六棱锥，正六棱锥的内切球即为可以磨成的体积最大的球，对于正六棱锥，设高为H，则，代入，故，以内切球球心I为顶点将正六棱锥分制为7个小的棱锥，分别为，分制前正六棱锥的体积为若内切球半径为r，则7个小的棱锥的体积之和为由等体积法：，故，
16、且，选项D错误.故选10.【答案】18【解析】【分析】本题考查平面截正方体所得截面的面积，考查学生的计算能力，确定截面图形是关键如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，即可求出平面截该正方体所得截面的面积【解答】解：如图所示：截面为等腰梯形BDPQ，P，Q分别为，的中点，其中，故等腰梯形BDPQ的高为，故截面的面积为故答案为：11.【答案】【解析】【分析】本题考查了平面图形与它的直观图的应用问题，也考查了三角形面积与周长的计算问题，是基础题画出正和水平放置的直观图，计算它的面积与周长即可【解答】解：如图所示，为边长为2cm的正三角形，则其水平放置的直观图的面积为；其直观图的周长为故答案为：，12.【
17、答案】【解析】【分析】本题考查简单组合体的结构特征和弧长公式，属于中档题.由题意画出图形，根据结合简单组合体的结构特征求出扇形中心角，利用弧长公式求得答案【解答】解：球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，如图所示，由题意知，所以，所以，所以，同理，故最长弧的弧长为故答案为：13.【答案】【解析】【分析】推导出，四棱锥是正四棱锥，从而正四棱锥的底正方形EFGH的边长为，高为，由此能求出四棱锥的体积本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题【解答】解：正方体的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，如图，四
18、棱锥是正四棱锥，正四棱锥的底正方形EFGH的边长为，高为，四棱锥的体积为：故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查锥体体积公式，等体积，考查空间思维能力，转化能力，属于中档题.结合题意，又，再利用体积相等得【解答】解：如图，设四棱锥的体积为V，设，同理，所以，同理，所以由得：，解得，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了简单多面体及其结构特征，棱锥体积的应用，根据已知及简单多面体及其结构特征，棱锥体积的计算，求出的体积.【解答】解：如图，连接， DB，则 O为中点，连接，又O为的中点，为PQ的中点，故答案为：16.【答案】解：将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动
19、到点D的位置，连接交于M，则是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线，其长为，已知正三棱柱的底面三角形的边长为a，设其外接球的半径为R，内切球的半径为r，因为正三棱柱外接球的表面积为，可得，解得，又由底面正三角形的边长为a，可得其外接圆的半径为，由球的截面性质，可得，即，解得，如图所示，在等边中，即，所以放入该容器的最大的球的体积为【解析】本题重点考查棱柱的侧面展开图求最短距离和球的体积公式，考查推理能力、计算能力和空间想象能力，属于中档题.可作出图形得出是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线，再计算求值.正三棱柱的底面三角形的边长为a，设出其外接球的半径为R，内切球的半径为r，可由表面
20、积公式求得R，再得到，由球的截面性质，可得，代值计算求得a，可作图得，最后根据球的体积公式求解.17.【答案】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，由题意，圆锥的侧面扇形的周长为，圆锥底面周长为，则，圆锥的高为，圆锥的侧面面积为半球的面积为，该蛋筒冰激凌的表面积为；圆锥的体积为；半球的体积为该蛋筒冰激凌的体积为，要制作500个这样的蛋筒，需要冰淇淋升【解析】本题考查圆锥和半球的表面积，体积的计算，考查空间想象能力，计算能力，是中档题设圆锥的底面半径为r，高为h，通过扇形的周长求出底面半径，再求出圆锥的高，然后求出侧面积；求出一个蛋筒的体积，乘以500，再转化单位即可18.【答案】解：过点A作于E，因为，且，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为：；设AD的中点为F，连接CF，将圆台沿CB展开如下图所示，由知，即，即，设，弧CD长为，则，所以，所以沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为【解析】本题考查圆台的体积公式的运用，圆台表面最短路径问题，属于中档题.过点A作于E，根据圆台的体积公式可求得答案；设AD的中点为F，连接CF，将圆台沿CB展开，由勾股定理可求得答案.
